А) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные суммы равны 7, 9, 10, 12, 13, 15, 15, 16, 18, 21?
Б) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные суммы равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?
В) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные произведения равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?
Б) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные суммы равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?
В) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные произведения равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Обозначим эти числа в порядке неубывания A, B, C, D, E. Сложим все попарные суммы, тогда каждое число войдет в итоговую сумму четыре раза: $4A + 4B + 4C + 4D + 4E=136$ Получается, что $A + B + C + D + E=34$ Ясно, что $A + B=7$ и $D + E=21$ тогда $C=6$
Пусть A=3, B=4. тогда D=9, E=12. Проверкой убеждаемся, что набор 3,4,6,9,12 годится.
б) Обозначим эти числа в порядке возрастания A, B, C, D, E. Сложим все попарные суммы, тогда каждое число войдет в итоговую сумму четыре раза: $4A + 4B + 4C + 4D + 4E=698$ Получается, что $A + B + C + D + E=174,5$ нецелое число. Поэтому такой случай невозможен.
в) Обозначим эти числа в порядке неубывания A, B, C, D, E. Перемножим все попарные произведения, тогда каждое число войдет в итоговое произведение ^4: $A в степени 4 \cdot B в степени 4 \cdot C в степени 4 \cdot D в степени 4 \cdot E в степени 4 =24 \cdot 32 \cdot 36 \cdot 48 \cdot 54 \cdot 64 \cdot 72 \cdot 96 \cdot 128 \cdot 144=2 в степени ( 40 ) \cdot 3 в степени ( 12 )$ Значит, $A \cdot B \cdot C \cdot D \cdot E=2 в степени ( 10 ) \cdot 3 ^3$ Заметим еще, что из попарных произведений три являются степенями двойки, значит, и среди чисел A, B, C, D, E три являются степенями двойки. Ни одно из попарных произведений не является степенью тройки, поэтому хотя бы одно из чисел делится и на 2, и на 3. Числа 4, 6, 8, 9 и 16 удовлетворяют всем условиям, и их попарные произведения действительно равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144.
Ответ: а) Существуют; б) не существуют; в) существуют
Пусть A=3, B=4. тогда D=9, E=12. Проверкой убеждаемся, что набор 3,4,6,9,12 годится.
б) Обозначим эти числа в порядке возрастания A, B, C, D, E. Сложим все попарные суммы, тогда каждое число войдет в итоговую сумму четыре раза: $4A + 4B + 4C + 4D + 4E=698$ Получается, что $A + B + C + D + E=174,5$ нецелое число. Поэтому такой случай невозможен.
в) Обозначим эти числа в порядке неубывания A, B, C, D, E. Перемножим все попарные произведения, тогда каждое число войдет в итоговое произведение ^4: $A в степени 4 \cdot B в степени 4 \cdot C в степени 4 \cdot D в степени 4 \cdot E в степени 4 =24 \cdot 32 \cdot 36 \cdot 48 \cdot 54 \cdot 64 \cdot 72 \cdot 96 \cdot 128 \cdot 144=2 в степени ( 40 ) \cdot 3 в степени ( 12 )$ Значит, $A \cdot B \cdot C \cdot D \cdot E=2 в степени ( 10 ) \cdot 3 ^3$ Заметим еще, что из попарных произведений три являются степенями двойки, значит, и среди чисел A, B, C, D, E три являются степенями двойки. Ни одно из попарных произведений не является степенью тройки, поэтому хотя бы одно из чисел делится и на 2, и на 3. Числа 4, 6, 8, 9 и 16 удовлетворяют всем условиям, и их попарные произведения действительно равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144.
Ответ: а) Существуют; б) не существуют; в) существуют
Правильный ответ:
а) Существуют; б) не существуют; в) существуют
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67513 • Задание №13
а) Решите уравнение $2 косинус в кубе x плюс корень из 3 косинус в квадрате x плюс 2 косинус x плюс корень из...
ID 71599 • Задание №19
На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. В...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...