А) Найдите какое-либо натуральное число, у которого ровно 10 делителей (включая 1 и само число).
Б) Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 10 делителей.
В) Найдите все трехзначные нечетные натуральные числа, у которых ровно 10 делителей.
Б) Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 10 делителей.
В) Найдите все трехзначные нечетные натуральные числа, у которых ровно 10 делителей.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) У числа $2 в степени 9 =512$ ровно 10 делителей: 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512.
б) Число N, имеющее ровно 10 делителей может иметь вид $N=p в степени 9$ где p - простое, или $N=p_1 в степени 4 \cdot p_2$ где $p_1, p_2$ - простые. Наименьшее число первого вида получится, если взять $p=2$ тогда $N=512$ Наименьшее число второго вида получится, если взять $p_1=2, p_2=3$ Тогда $N=48$
в) Из пункта б) ясно что числа могут быть только двух типов. Причем, двойки среди простых множителей быть не может. $3 в степени 9 больше 1000$ поэтому числа могут быть только второго типа. Пусть $p_1=3, p_2=5$ Тогда $N=405$ Пусть $p_1=3, p_2=7$ Тогда $N=567$ Пусть $p_1=3, p_2=11$ Тогда $N=891$ Если же $p_1 больше 3$ или $p_2 больше 11$ то $N больше 1000$
Ответ: а) 512; б) 48; в) 405, 567, 891.
б) Число N, имеющее ровно 10 делителей может иметь вид $N=p в степени 9$ где p - простое, или $N=p_1 в степени 4 \cdot p_2$ где $p_1, p_2$ - простые. Наименьшее число первого вида получится, если взять $p=2$ тогда $N=512$ Наименьшее число второго вида получится, если взять $p_1=2, p_2=3$ Тогда $N=48$
в) Из пункта б) ясно что числа могут быть только двух типов. Причем, двойки среди простых множителей быть не может. $3 в степени 9 больше 1000$ поэтому числа могут быть только второго типа. Пусть $p_1=3, p_2=5$ Тогда $N=405$ Пусть $p_1=3, p_2=7$ Тогда $N=567$ Пусть $p_1=3, p_2=11$ Тогда $N=891$ Если же $p_1 больше 3$ или $p_2 больше 11$ то $N больше 1000$
Ответ: а) 512; б) 48; в) 405, 567, 891.
Правильный ответ:
а) 512; б) 48; в) 405, 567, 891
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66929 • Задание №11
Решите систему неравенств $система выражений новая строка левая круглая скобка x в квадрате минус 5,6x плюс 7,...
ID 67059 • Задание №12
Найдите точку минимума функции $y=x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец д...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...