Рассматриваются дроби вида $\frac{n}{n + 1}$ где $n принадлежит N$
а) Может ли сумма нескольких попарно различных дробей вида $\frac{n}{n + 1}$ быть целым числом?
б) Может ли сумма двух различных дробей вида $\frac{n}{n + 1}$ равняться дроби вида $\frac{n}{n + 1} ?$
в) Найдите наименьшее количество попарно различных дробей вида $\frac{n}{n + 1}$ сумма которых будет больше 10.
а) Может ли сумма нескольких попарно различных дробей вида $\frac{n}{n + 1}$ быть целым числом?
б) Может ли сумма двух различных дробей вида $\frac{n}{n + 1}$ равняться дроби вида $\frac{n}{n + 1} ?$
в) Найдите наименьшее количество попарно различных дробей вида $\frac{n}{n + 1}$ сумма которых будет больше 10.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Заметим сразу, что $\frac{n}{n + 1} =1 - \frac{1}{n + 1}$ Поэтому с возрастанием n эти дроби возрастают.
а) Да, например $\frac{1}{2} + $\frac{2}{3}$ + $\frac{5}{6}$ =2$
б) Нет, даже две самые маленькие дроби дают сумму $\frac{1}{2} + $\frac{2}{3}$ больше 1$ а любая одна дробь меньше 1.
в) Поскольку все дроби меньше 1, то сумма даже десяти таких дробей будет меньше 10. C другой стороны, можно выбрать 11 дробей так, чтобы в них выполнялось $n больше 100$ Тогда их сумма будет отличаться от 11 на сумму одиннадцати дробей, каждая из которых меньше 0,01, значит, будет больше 10.
Ответ: а) да; б) нет; в) 11.
а) Да, например $\frac{1}{2} + $\frac{2}{3}$ + $\frac{5}{6}$ =2$
б) Нет, даже две самые маленькие дроби дают сумму $\frac{1}{2} + $\frac{2}{3}$ больше 1$ а любая одна дробь меньше 1.
в) Поскольку все дроби меньше 1, то сумма даже десяти таких дробей будет меньше 10. C другой стороны, можно выбрать 11 дробей так, чтобы в них выполнялось $n больше 100$ Тогда их сумма будет отличаться от 11 на сумму одиннадцати дробей, каждая из которых меньше 0,01, значит, будет больше 10.
Ответ: а) да; б) нет; в) 11.
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) 11
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65266 • Задание №5
[рис.] На рисунке показано дерево некоторого случайного эксперимента. Событию A благоприятствуют элементарные ...
ID 64825 • Задание №3
[рис.] В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите угол $AC_1C$ От...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...