Решите в целых числах уравнение:
а) $2x ^2 + 5y ^2 =7$
б) $2x ^2 - 5y ^2 = 7$
в) $2x ^2 + 5y ^2 = 7xy$
а) $2x ^2 + 5y ^2 =7$
б) $2x ^2 - 5y ^2 = 7$
в) $2x ^2 + 5y ^2 = 7xy$
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Ясно, что $|x|, |y| меньше или = 1$ Перебирая возможные x и y, находим 4 ответа: $( - 1; - 1 )$ $( - 1; 1 )$ $( 1; - 1 )$ $( 1; 1 )$
б) Рассмотрим остатки от деления чисел и их квадратов на 7. Квадрат числа при делении на 7 дает остатки 0, 1, 2, 4. Поэтому $2x ^2$ дает остатки 0, 2, 4, 1. А $5y ^2$ при делении на 7 дает остатки 0, 5, 3, 6. Значит, их разность кратна 7 только тогда, когда они оба кратны 7. Но тогда $2x ^2 - 5y ^2$ кратно 49. Поэтому уравнение не имеет решений.
в) Перепишем уравнение в виде $( x - y ) ( 2x - 5y ) =0$ Отсюда видно, что либо $x=y$ либо y — четное число. Следовательно, $y=2t$ $x=5t$
Ответ: а) $( 1; 1 ) ; ( 1; - 1 ) ; ( - 1; 1 ) ; ( - 1; - 1 )$ б) нет решений; в) $( t; t ) , ( 5t; 2t )$ при всех целых $t$
б) Рассмотрим остатки от деления чисел и их квадратов на 7. Квадрат числа при делении на 7 дает остатки 0, 1, 2, 4. Поэтому $2x ^2$ дает остатки 0, 2, 4, 1. А $5y ^2$ при делении на 7 дает остатки 0, 5, 3, 6. Значит, их разность кратна 7 только тогда, когда они оба кратны 7. Но тогда $2x ^2 - 5y ^2$ кратно 49. Поэтому уравнение не имеет решений.
в) Перепишем уравнение в виде $( x - y ) ( 2x - 5y ) =0$ Отсюда видно, что либо $x=y$ либо y — четное число. Следовательно, $y=2t$ $x=5t$
Ответ: а) $( 1; 1 ) ; ( 1; - 1 ) ; ( - 1; 1 ) ; ( - 1; - 1 )$ б) нет решений; в) $( t; t ) , ( 5t; 2t )$ при всех целых $t$
Правильный ответ:
а) $левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка ; левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус 1; минус 1 правая круглая скобка$ б) нет решений; в) $левая круглая скобка t; t правая круглая скобка , левая круглая скобка 5t; 2t правая круглая скобка$ при всех целых $t$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71036 • Задание №18
Найдите все значения параметра b, при каждом из которых уравнение
$x в кубе плюс 2x в квадрате минус x логари...
ID 66292 • Задание №8
Дано уравнение $тангенс 2x плюс \ctg x=8 косинус в квадрате x$
а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого у...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...