а)  Да, могут. Например при $x=1,y=3,z=9$
б)  По свойству арифметической прогрессии в этом случае имеем $5x + 3z=2y$ откуда $25x ^2 + 9z ^2 + 30xz=4y ^2 =4xz$ (по свойству геометрической прогрессии), откуда $25x ^2 + 26xz + 9z ^2 =0$ Деля на $z ^2$ и обозначая $t= \frac{x}{z}$ получим $25t ^2 + 26t + 9=0$ Это уравнение корней не имеет, поэтому исходное имеет единственное решение $x=z=0$ тогда и $y=0$
в)  Как и в предыдущем пункте, по свойствам прогрессий получаем $5x + 3 + 3z + 5=2y ^2 =2xz$ Перепишем полученное уравнение иначе:

$2xz - 5x - 3z=8 = сильно 4xz - 10x - 6z=16 = сильно ( 2x - 3 ) ( 2z - 5 ) =31$

Значит эти множители равны $\pm 1$ и $\pm 31$ Разбираем случаи:
1.   $2x - 3=1$ $2z - 5=31$ тогда $x=2$ $z=18$ тогда $y=\pm 6$
2.   $2x - 3= - 1$ $2z - 5= - 31$ тогда $x=1$ $z= - 13$ тогда $y ^2 = - 13$ невозможно;
3.   $2x - 3=31$ $2z - 5=1$ тогда $x=17$ $z=3$ тогда $y ^2 =51$ невозможно;
4.   $2x - 3= - 31$ $2z - 5= - 1$ тогда $x=14$ $z=2$ тогда $y ^2 =28$ невозможно.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) $x=2,y=\pm 6,z=18$