Заданы числа: 1, 2, 3, ..., 99, 100. Можно ли разбить эти числа на три группы так, чтобы:
а) в каждой группе сумма чисел делилась на 3.
б) в каждой группе сумма чисел делилась на 10.
в) сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304?
а) в каждой группе сумма чисел делилась на 3.
б) в каждой группе сумма чисел делилась на 10.
в) сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Общая сумма чисел равна $\frac{100 \cdot 101}{2} =5050$ Это числе не кратно трем. Поскольку оно будет суммой всех сумм в группах, хоть одна из сумм в группах не будет кратна трем.
б) Да, например, так — в первой группе число $10$ во второй — число $20$ в третьей все остальные с суммой $5050 - 10 - 20=5020$
в) Пусть сумма в первой группе равна $102x$ во второй $203y$ в третьей $304z$ Тогда:
$102x + 203y + 304z=5050 = сильно 101 ( x + 2y + 3z ) + ( y + 2z ) =101 \cdot 50$
Следовательно, $y + 2z$ кратно $101$ Но тогда $y + 2z больше или = 101$ поэтому одно из чисел y и z не меньше $34$ Тогда сумма в соответствующей группе не меньше $203 \cdot 34 больше 6000$ или $304 \cdot 34 больше 9000$ что невозможно.
Ответ: а) Нет, б) Да, пример: 1) {10;20} 2){100;90} 3) {все остальные}; в) Нет.
б) Да, например, так — в первой группе число $10$ во второй — число $20$ в третьей все остальные с суммой $5050 - 10 - 20=5020$
в) Пусть сумма в первой группе равна $102x$ во второй $203y$ в третьей $304z$ Тогда:
$102x + 203y + 304z=5050 = сильно 101 ( x + 2y + 3z ) + ( y + 2z ) =101 \cdot 50$
Следовательно, $y + 2z$ кратно $101$ Но тогда $y + 2z больше или = 101$ поэтому одно из чисел y и z не меньше $34$ Тогда сумма в соответствующей группе не меньше $203 \cdot 34 больше 6000$ или $304 \cdot 34 больше 9000$ что невозможно.
Ответ: а) Нет, б) Да, пример: 1) {10;20} 2){100;90} 3) {все остальные}; в) Нет.
Правильный ответ:
а) Нет, б) Да, пример: 1) {10;20} 2){100;90} 3) {все остальные}; в) Нет
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66652 • Задание №10
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра $AB=8 корень из: начало аргумента: 3 ко...
ID 68917 • Задание №15
Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка лог...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...