а) Пусть произведение восьми различных натуральных чисел = А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, = В. Найдите наибольшее значение $\frac{B}{A}$
б) Пусть произведение восьми натуральных чисел (не обязательно различных) = А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, = В. Может ли значение выражения $\frac{B}{A}$ равняться 210?
в) Пусть произведение восьми натуральных чисел (не обязательно различных) = А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, = В. Может ли значение выражения $\frac{B}{A}$ равняться 63?
б) Пусть произведение восьми натуральных чисел (не обязательно различных) = А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, = В. Может ли значение выражения $\frac{B}{A}$ равняться 210?
в) Пусть произведение восьми натуральных чисел (не обязательно различных) = А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, = В. Может ли значение выражения $\frac{B}{A}$ равняться 63?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Для каждого выбранного числа n в дробь $\frac{B}{A}$ попадет множитель $\frac{n + 1}{n} =1 + \frac{1}{n}$ Функция $f ( n ) =1 + \frac{1}{n}$ убывает.
а) Очевидно следует взять самые маленькие числа. Тогда получим $\frac{B}{A} = ( 1 + 1 ) ( 1 + $\frac{1}{2}$ ) \ldots ( 1 + $\frac{1}{8}$ ) =9$
б) Если все числа сделать равными 1 получим $\frac{B}{A} =256$ Если же хоть одно из них не единица, то
$\frac{B}{A} меньше или = ( 1 + 1 ) в степени 7 \cdot ( 1 + $\frac{1}{2}$ ) =192 меньше 210$
в) Да, например для набора $1,1,1,1,2,2,2,6$ имеем $\frac{B}{A} = $\frac{2 в степени 4 \cdot 3 ^3 \cdot 7}{2 ^3 \cdot 6}$ =63$
Ответ: а) 9; б) нет; в) да.
а) Очевидно следует взять самые маленькие числа. Тогда получим $\frac{B}{A} = ( 1 + 1 ) ( 1 + $\frac{1}{2}$ ) \ldots ( 1 + $\frac{1}{8}$ ) =9$
б) Если все числа сделать равными 1 получим $\frac{B}{A} =256$ Если же хоть одно из них не единица, то
$\frac{B}{A} меньше или = ( 1 + 1 ) в степени 7 \cdot ( 1 + $\frac{1}{2}$ ) =192 меньше 210$
в) Да, например для набора $1,1,1,1,2,2,2,6$ имеем $\frac{B}{A} = $\frac{2 в степени 4 \cdot 3 ^3 \cdot 7}{2 ^3 \cdot 6}$ =63$
Ответ: а) 9; б) нет; в) да.
Правильный ответ:
а) 9; б) нет; в) да
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71532 • Задание №19
Дано натуральное число. На каждом ходе из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную с...
ID 65519 • Задание №6
[рис.] В треугольнике ABC угол C равен 90°, $AB = 5$ $косинус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец д...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...