Известно, что a, b, c, d — попарно различные натуральные числа, большие 1.
а) Может ли выполняться равенство $\frac{1}{a} + $\frac{1}{b}$ = $\frac{1}{c}$ + \frac{1}{d}$ ?
б) Может ли выполняться равенство $\frac{1}{a} + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ + $\frac{1}{d}$ =1,26$ ?
в) Найдите наименьшее и наибольшее значение суммы $S= $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ + \frac{1}{d}$ если известно, что $1,2 меньше S меньше 1,3$
а) Может ли выполняться равенство $\frac{1}{a} + $\frac{1}{b}$ = $\frac{1}{c}$ + \frac{1}{d}$ ?
б) Может ли выполняться равенство $\frac{1}{a} + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ + $\frac{1}{d}$ =1,26$ ?
в) Найдите наименьшее и наибольшее значение суммы $S= $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ + \frac{1}{d}$ если известно, что $1,2 меньше S меньше 1,3$
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Да, $\frac{1}{3} + $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{2}$ + \frac{1}{30}$
б) Если сумма дробей равна $\frac{63}{50}$ то у одной из них знаменатель кратен $25$ Тогда она не больше $\frac{1}{25}$ а остальные вместе не больше $\frac{1}{2} + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ = \frac{13}{12}$ поэтому общая сумма не больше $\frac{13}{12} + $\frac{1}{25}$ меньше 1,13$
в) Самые большие дроби дадут:
$\frac{1}{2} + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ = $\frac{77}{60}$ \approx 1,28 принадлежит ( 1,2;1,3 )$
Значит, это и есть самое большое значение.
Если не взять $\frac{1}{2}$ то наибольшая сумма будет: $\frac{1}{3} + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{57}{60}$ меньше 1$ Значит, $\frac{1}{2}$ в сумме есть.
Если не взять $\frac{1}{3}$ то наибольшая сумма будет: $\frac{1}{2} + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{67}{60}$ меньше 1,2$ Значит, $\frac{1}{3}$ в сумме есть.
Если не взять $\frac{1}{4}$ то наибольшая сумма будет: $\frac{1}{2} + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{72}{60}$ =1,2$ Значит, $\frac{1}{4}$ в сумме есть.
Тогда сумма этих трех дробей равна $\frac{13}{12}$ и мы получаем неравенство:
$\frac{13}{12} + $\frac{1}{a}$ больше 1,2 = сильно $\frac{1}{a}$ больше $\frac{7}{60}$ = сильно a меньше или = 8$
Поэтому минимальная сумма составит: $\frac{1}{2} + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ = \frac{29}{24}$
Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{29}{24}$ и $\frac{77}{60}$
б) Если сумма дробей равна $\frac{63}{50}$ то у одной из них знаменатель кратен $25$ Тогда она не больше $\frac{1}{25}$ а остальные вместе не больше $\frac{1}{2} + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ = \frac{13}{12}$ поэтому общая сумма не больше $\frac{13}{12} + $\frac{1}{25}$ меньше 1,13$
в) Самые большие дроби дадут:
$\frac{1}{2} + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ = $\frac{77}{60}$ \approx 1,28 принадлежит ( 1,2;1,3 )$
Значит, это и есть самое большое значение.
Если не взять $\frac{1}{2}$ то наибольшая сумма будет: $\frac{1}{3} + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{57}{60}$ меньше 1$ Значит, $\frac{1}{2}$ в сумме есть.
Если не взять $\frac{1}{3}$ то наибольшая сумма будет: $\frac{1}{2} + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{67}{60}$ меньше 1,2$ Значит, $\frac{1}{3}$ в сумме есть.
Если не взять $\frac{1}{4}$ то наибольшая сумма будет: $\frac{1}{2} + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{72}{60}$ =1,2$ Значит, $\frac{1}{4}$ в сумме есть.
Тогда сумма этих трех дробей равна $\frac{13}{12}$ и мы получаем неравенство:
$\frac{13}{12} + $\frac{1}{a}$ больше 1,2 = сильно $\frac{1}{a}$ больше $\frac{7}{60}$ = сильно a меньше или = 8$
Поэтому минимальная сумма составит: $\frac{1}{2} + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ = \frac{29}{24}$
Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{29}{24}$ и $\frac{77}{60}$
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) $дробь: числитель: 29, знаменатель: 24 конец дроби$ и $дробь: числитель: 77, знаменатель: 60 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 72003 • Задание №19
а) Решите в целых числах уравнение $19x плюс 97y=4$
б) Решите в целых числах уравнение $19x плюс 97y плюс xy...
ID 68471 • Задание №14
Площадь трапеции ABCD равна 60, а одно из оснований трапеции втрое больше другого. Диагонали пересекаются в то...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...