На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 4 до 30 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 14?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 13?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 14?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 13?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Нет. Очевидно, что рядом с числом 17 нельзя поставить ни одно число.
б) Да, например, 4, 18, 5, 19, 6, 20, ..., 16, 30, 17.
в) Всего на окружности стоят 27 чисел. Разобьем всю окружность на 9 дуг по три числа на каждой, причем числа 4 и 13 (если они стоят близко) разделим на разные дуги. Рассмотрим числа 4, 5, 6, ..., 13. Их 10, поэтому какие-то два попали на одну дугу. Каждые два из них отличаются не больше чем на 8 (кроме пары 4 и 13, но она не попала на одну дугу) и либо стоят рядом, либо через одно. Итак, одна из разностей точно будет не больше 8. Если расставить числа в порядке 4, 13, 22, 5, 14, 23, ..., 12, 21, 30, то наименьшая разность составит 12 − 4 = 8.
Ответ: а) нет б) да в) 8.
б) Да, например, 4, 18, 5, 19, 6, 20, ..., 16, 30, 17.
в) Всего на окружности стоят 27 чисел. Разобьем всю окружность на 9 дуг по три числа на каждой, причем числа 4 и 13 (если они стоят близко) разделим на разные дуги. Рассмотрим числа 4, 5, 6, ..., 13. Их 10, поэтому какие-то два попали на одну дугу. Каждые два из них отличаются не больше чем на 8 (кроме пары 4 и 13, но она не попала на одну дугу) и либо стоят рядом, либо через одно. Итак, одна из разностей точно будет не больше 8. Если расставить числа в порядке 4, 13, 22, 5, 14, 23, ..., 12, 21, 30, то наименьшая разность составит 12 − 4 = 8.
Ответ: а) нет б) да в) 8.
Правильный ответ:
а) нет б) да в) 8
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64737 • Задание №3
[рис.] Найдите угол ABD многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Отв...
ID 70374 • Задание №17
В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке E, лежащей на ст...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2
Верно получен один из следующий результатов:
— обоснованное решение пункта а;
— обоснованное решение пункта б;
— оценка в пункте в;
— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2
Верно получен один из следующий результатов:
— обоснованное решение пункта а;
— обоснованное решение пункта б;
— оценка в пункте в;
— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...