Расставим знаки и объясним их. Для этого определим границы предложений и выделим союзы.

[Запомнилось буфетчику], (1) (что первой попалась ему на глаза старенькая нянька), (2) (которая хотела взять у него шляпу), (3), но (4) (так как шляпы у него не оказалось), (5) [то нянька куда-то ушла].

Это сложное предложение с 5-ю простыми, с сочинительной связью между частями, делится на два блока.
Сделаем схему:
{[1 ], (2 что...), (3 которая...)}, но {( 4 так как ...), [5 то...]}.
Запятые ставятся на границах всех простых предложений. Запятая 4 на месте стыка союзов «но» «так как» не нужна, так как предложение 4 не перемещается, мешает часть ТО.

Ответ: 1235 ИЛИ любая другая последовательность этих цифр.