На невесомой нерастяжимой нити длиной l = 50 см, привязанной наверху к неподвижному крючку, подвешен маленький шарик массой m = 10 г. Снизу к шарику прикреплена легкая пружина жесткостью k = 100 Н/м, растянутая на $\Delta l=10см$ до длины, = й длине нити l, причем нижний конец пружины находится точно под крючком и заделан в неподвижном основании. Шарик оттягивают в горизонтальном направлении на малое расстояние x l и отпускают. Найдите частоту ν возникающих после этого колебаний, пренебрегая потерями на трение.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] 1. Изобразим нашу систему в момент отклонения шарика на максимальное расстояние x по горизонтали от положения = весия (см. рисунок).
2. В силу нерастяжимости нити шарик двигался по дуге окружности радиусом l и в результате поднялся по вертикали на высоту h. Поскольку отклонение мало, то длина пружинки при этом увеличится также на h.
3. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой l и катетами l − h и x имеем: $l ^2 = ( l - h ) ^2 + x ^2$ откуда $x ^2 =2lh - h ^2 \approx2lh$ поскольку h l. Таким образом, $h= $\frac{x ^2}{2l}$ меньше меньше x$ Отсюда следует, что вертикальным смещением шарика при колебаниях можно пренебречь, и сумма вертикальных проекций сил, действующих на него, равна нулю.
4. На шарик действуют сила тяжести:
$mg=0,01 \cdot 10=0,1Н$
сила натяжения пружины:
$T_п=k ( \Delta l + h ) \approx k\Delta l=100 \cdot 0,1=10Н больше больше mg$
и сила натяжения нити:
$T_н \approx T_п + mg \approx T_п =10Н$
Тут мы учли, что угол отклонения нити от вертикали:
$\varphi\approx $\frac{x}{l}$ \approx \sin \varphi меньше меньше 1$ $\cos \varphi \approx 1$
5. Сумма горизонтальных проекций этих сил направлена в сторону, противоположную смещению шарика, и равна, очевидно:
$ - 2T_п \sin \varphi \approx - 2T_п \frac{x}{l}$
6. Второй закон Ньютона для движения шарика по горизонтали имеет вид уравнения гармонических колебаний:
$ma_x\approx - 2k $\frac{\Delta l}{l}$ x= - m\omega ^2 x$
откуда:
$\omega= \sqrt{аргумента: 2k $\frac{\Delta l}{ml}$} аргумента$
и частота колебаний:
$\nu = $\frac{\omega}{2 \pi}$ = \frac{\sqrt{аргумента: 2k $\frac{\Delta l}{ml}$} аргумента ,}{2 \pi}$
7. Подставляя численные данные из условия, окончательно получаем:
$\nu = \frac{\sqrt{аргумента: $\frac{2 \cdot 100 \cdot 0,1}{0,01 \cdot 0,5}$} аргумента ,}{2 \cdot 3,14} \approx 10,07Гц$
Ответ: $\approx 10,07 \Гц$
2. В силу нерастяжимости нити шарик двигался по дуге окружности радиусом l и в результате поднялся по вертикали на высоту h. Поскольку отклонение мало, то длина пружинки при этом увеличится также на h.
3. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой l и катетами l − h и x имеем: $l ^2 = ( l - h ) ^2 + x ^2$ откуда $x ^2 =2lh - h ^2 \approx2lh$ поскольку h l. Таким образом, $h= $\frac{x ^2}{2l}$ меньше меньше x$ Отсюда следует, что вертикальным смещением шарика при колебаниях можно пренебречь, и сумма вертикальных проекций сил, действующих на него, равна нулю.
4. На шарик действуют сила тяжести:
$mg=0,01 \cdot 10=0,1Н$
сила натяжения пружины:
$T_п=k ( \Delta l + h ) \approx k\Delta l=100 \cdot 0,1=10Н больше больше mg$
и сила натяжения нити:
$T_н \approx T_п + mg \approx T_п =10Н$
Тут мы учли, что угол отклонения нити от вертикали:
$\varphi\approx $\frac{x}{l}$ \approx \sin \varphi меньше меньше 1$ $\cos \varphi \approx 1$
5. Сумма горизонтальных проекций этих сил направлена в сторону, противоположную смещению шарика, и равна, очевидно:
$ - 2T_п \sin \varphi \approx - 2T_п \frac{x}{l}$
6. Второй закон Ньютона для движения шарика по горизонтали имеет вид уравнения гармонических колебаний:
$ma_x\approx - 2k $\frac{\Delta l}{l}$ x= - m\omega ^2 x$
откуда:
$\omega= \sqrt{аргумента: 2k $\frac{\Delta l}{ml}$} аргумента$
и частота колебаний:
$\nu = $\frac{\omega}{2 \pi}$ = \frac{\sqrt{аргумента: 2k $\frac{\Delta l}{ml}$} аргумента ,}{2 \pi}$
7. Подставляя численные данные из условия, окончательно получаем:
$\nu = \frac{\sqrt{аргумента: $\frac{2 \cdot 100 \cdot 0,1}{0,01 \cdot 0,5}$} аргумента ,}{2 \cdot 3,14} \approx 10,07Гц$
Ответ: $\approx 10,07 \Гц$
Правильный ответ:
$\approx 10,07 \Гц$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 107080 • Задание №19
[рис.] Определите показания вольтметра (см. рис.), если погрешность прямого измерения напряжения равна цене де...
ID 167758 • Задание №17
Используя брусок с крючком, динамометры № 1 и № 2, грузы № 1, № 2 и № 3, направляющую рейку, соберите эксперим...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: закон Гука, 2-й закон Ньютона для гармонических колебательных процессов, связь циклической частоты с угловой частотой колебаний, а также геометрические соотношения)1;
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин ((за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов)2;
III) представлены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 2
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены преобразования, направленные на решение задачи, но имеется один или несколько из следующих недостатков.
Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют.
И (ИЛИ)
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения и не зачеркнуты.
И (ИЛИ)
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги.
И (ИЛИ)
Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины). | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным
критериям выставления оценок в 1 или 2 балла. | 0
Максимальный балл | 2
1В качестве исходных принимаются формулы, указанные в кодификаторе проверяемых требований к результатам освоения основных образовательных программ среднего общего образования и элементов содержания для проведения единого государственного экзамена по физике.
2 Стандартными считаются обозначения величин, принятые в кодификаторе проверяемых требований к результатам освоения основных образовательных программ среднего общего образования и элементов содержания для проведения единого государственного экзамена по физике.
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: закон Гука, 2-й закон Ньютона для гармонических колебательных процессов, связь циклической частоты с угловой частотой колебаний, а также геометрические соотношения)1;
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин ((за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов)2;
III) представлены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 2
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены преобразования, направленные на решение задачи, но имеется один или несколько из следующих недостатков.
Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют.
И (ИЛИ)
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения и не зачеркнуты.
И (ИЛИ)
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги.
И (ИЛИ)
Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины). | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным
критериям выставления оценок в 1 или 2 балла. | 0
Максимальный балл | 2
1В качестве исходных принимаются формулы, указанные в кодификаторе проверяемых требований к результатам освоения основных образовательных программ среднего общего образования и элементов содержания для проведения единого государственного экзамена по физике.
2 Стандартными считаются обозначения величин, принятые в кодификаторе проверяемых требований к результатам освоения основных образовательных программ среднего общего образования и элементов содержания для проведения единого государственного экзамена по физике.
🔗 Другие задания линии №29 по предмету Физика:
ID 109084
В преддверии летнего сезона пожаров двое пожарных в одной из деревень решили заполнить одинаков...
ID 109085
Тело, свободно падающее с некоторой высоты, первый участок пути проходит за время $\tau =1c$ а ...
ID 109086
Тело, свободно падающее с некоторой высоты из состояния покоя, за время $\tau = 1c$ после начал...
ID 109087
Маленький шарик падает сверху на наклонную плоскость и упруго отражается от нее. Угол наклона п...
ID 109088
Наклонная плоскость пересекается с горизонтальной плоскостью по прямой AB. Угол между плоскостя...