[рис.] Рассмотрим два случая.
1.  Средняя линия DE параллельна стороне AB.
Треугольник ABC подобен треугольнику DEC с коэффициентом 2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

$S_ABC = 2 ^2 \cdot 38 = 152$

[рис.]
2.  Средняя линия DE не параллельна стороне AB. Пусть для определённости точка D  — середина стороны AC. Тогда отрезок DE  — медиана треугольника ACE, и площади треугольников CDE и AED равны. Отрезок CE  — медиана треугольника ABC, и площади треугольников CBE и ACE равны. Следовательно,

$S_ABC = S_AEC + S_CBE = S_CDE + S_ADE + S_CBE = 4S_CDE = 4 \cdot 38 = 152$

Ответ: 152.

-------
Задача исключена из открытого банка.