Система не меняется при смене знака переменной y. Поэтому, поскольку система должна иметь единственное решение, это решение должно иметь вид (x; 0). Найдем, при каких а система будет иметь решения (x; 0).
Для y  =  0 система принимает вид

$$$\begin{cases} 3a=x + 3 \\[6pt] |x|=3 \end{cases}$$$

откуда $x= \pm 3$ тогда $a=2$ или $a=0$ Осталось проверить, не имеет ли система других решений кроме (3; 0) для $a=2$ и (−3; 0) для $a=0$
Если $a=2$ то имеем:

$$$\begin{cases} 2 ( y в степени 4 + 3 ) =x + 3 ( 1 - |y| ) \\[6pt] |x| + |y|=3 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x=2y в степени 4 + 3|y| + 3 \\[6pt] 2y в степени 4 + 3|y| + 3 + |y| =3 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x=2y в степени 4 + 3|y| + 3 \\[6pt] 2y в степени 4 + 4|y| =0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x=2y в степени 4 + 3|y| + 3 \\[6pt] |y| ( |y| ^3 + 2 ) =0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x=3 \\[6pt] y=0. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 2 ( y в степени 4 + 3 ) =x + 3 ( 1 - |y| ) \\[6pt] |x| + |y|=3 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x=2y в степени 4 + 3|y| + 3 \\[6pt] 2y в степени 4 + 3|y| + 3 + |y| =3 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x=2y в степени 4 + 3|y| + 3 \\[6pt] 2y в степени 4 + 4|y| =0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x=2y в степени 4 + 3|y| + 3 \\[6pt] |y| ( |y| ^3 + 2 ) =0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x=3 \\[6pt] y=0. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 2 ( y в степени 4 + 3 ) =x + 3 ( 1 - |y| ) \\[6pt] |x| + |y|=3 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x=2y в степени 4 + 3|y| + 3 \\[6pt] 2y в степени 4 + 3|y| + 3 + |y| =3 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x=2y в степени 4 + 3|y| + 3 \\[6pt] 2y в степени 4 + 4|y| =0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x=2y в степени 4 + 3|y| + 3 \\[6pt] |y| ( |y| ^3 + 2 ) =0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x=3 \\[6pt] y=0. \end{cases}$$$

Итак, система имеет единственное решение.
Если $a=0$ то имеем:

$$$\begin{cases} 0=x + 3 ( 1 - |y| ) \\[6pt] |x| + |y|=3 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x=3|y| - 3 \\[6pt] \left| 3|y| - 3 | + |y|=3. \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x=3|y| - 3 \\[6pt] \left3| |y| - 1 | + |y|=3. ( * ) \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 0=x + 3 ( 1 - |y| ) \\[6pt] |x| + |y|=3 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x=3|y| - 3 \\[6pt] \left| 3|y| - 3 | + |y|=3. \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x=3|y| - 3 \\[6pt] \left3| |y| - 1 | + |y|=3. ( * ) \end{cases}$$$

При $y больше или = 1$ уравнение (*) принимает вид $4y - 3=3$ и имеет корень $y= \frac{3}{2}$ Следовательно, при $a=0$ система имеет более одного решения. (Нетрудно показать, что решений 3, но об этом не спрашивают.)

Ответ: $a=2$