Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
$$$\begin{cases} ( x + ay - 4 ) ( x + ay - 4a ) =0 \\[6pt] x ^2 + y ^2 =9 \end{cases}$$$
имеет ровно четыре различных решения.
$$$\begin{cases} ( x + ay - 4 ) ( x + ay - 4a ) =0 \\[6pt] x ^2 + y ^2 =9 \end{cases}$$$
имеет ровно четыре различных решения.
💡 Пошаговый разбор и решение:
При a = 1 первое уравнение системы задаёт прямую $x + y=4$ а при $a не = 1$ пару параллельных прямых l1 и l2, заданных уравнениями $x + ay=4$ и $x + ay=4a$ соответственно.
Второе уравнение системы задает окружность ω радиусом 3 с центром в точке (0; 0).
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная система уравнений имеет ровно 4 решения, когда $a не = 1$ и окружность ω пересекается с каждой из прямых l1 и l2 в двух точках.
Число точек пересечения окружности ω с прямой l1 = числу корней квадратного уравнения:
$( 4 - ay ) ^2 + y ^2 =9; ( a ^2 + 1 ) y ^2 - 8ay + 7=0$
Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
$64a ^2 - 28 ( a ^2 + 1 ) больше 0;9a ^2 - 7 больше 0; ( 3a - $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) ( 3a + $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) больше 0$
откуда $a меньше - \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3} ;a больше \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3}$
Число точек пересечения окружности ω с прямой l2 = числу корней квадратного уравнения:
$( 4a - ay ) ^2 + y ^2 =9; ( a ^2 + 1 ) y ^2 - 8a ^2 y + 16a ^2 - 9=0$
Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
$64a в степени 4 - 4 ( a ^2 + 1 ) ( 16a ^2 - 9 ) больше 0;9 - 7a ^2 больше 0; ( $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента a - 3 ) ( $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента a + 3 ) меньше 0$ $64a в степени 4 - 4 ( a ^2 + 1 ) ( 16a ^2 - 9 ) больше 0;9 - $
$ - 7a ^2 больше 0; ( $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента a - 3 ) ( $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента a + 3 ) меньше 0$
откуда $ - \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{7} меньше a меньше \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{7}$
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения
при $ - \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{7} меньше a меньше - \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3} ; \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3} меньше a меньше 1;1 меньше a меньше \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{7}$
Ответ: $ - \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{7} меньше a меньше - \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3} ; \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3} меньше a меньше 1;1 меньше a меньше \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{7}$
Второе уравнение системы задает окружность ω радиусом 3 с центром в точке (0; 0).
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная система уравнений имеет ровно 4 решения, когда $a не = 1$ и окружность ω пересекается с каждой из прямых l1 и l2 в двух точках.
Число точек пересечения окружности ω с прямой l1 = числу корней квадратного уравнения:
$( 4 - ay ) ^2 + y ^2 =9; ( a ^2 + 1 ) y ^2 - 8ay + 7=0$
Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
$64a ^2 - 28 ( a ^2 + 1 ) больше 0;9a ^2 - 7 больше 0; ( 3a - $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) ( 3a + $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) больше 0$
откуда $a меньше - \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3} ;a больше \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3}$
Число точек пересечения окружности ω с прямой l2 = числу корней квадратного уравнения:
$( 4a - ay ) ^2 + y ^2 =9; ( a ^2 + 1 ) y ^2 - 8a ^2 y + 16a ^2 - 9=0$
Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
$64a в степени 4 - 4 ( a ^2 + 1 ) ( 16a ^2 - 9 ) больше 0;9 - 7a ^2 больше 0; ( $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента a - 3 ) ( $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента a + 3 ) меньше 0$ $64a в степени 4 - 4 ( a ^2 + 1 ) ( 16a ^2 - 9 ) больше 0;9 - $
$ - 7a ^2 больше 0; ( $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента a - 3 ) ( $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента a + 3 ) меньше 0$
откуда $ - \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{7} меньше a меньше \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{7}$
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения
при $ - \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{7} меньше a меньше - \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3} ; \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3} меньше a меньше 1;1 меньше a меньше \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{7}$
Ответ: $ - \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{7} меньше a меньше - \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3} ; \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3} меньше a меньше 1;1 меньше a меньше \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{7}$
Правильный ответ:
$минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби меньше a меньше минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби меньше a меньше 1;1 меньше a меньше дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71668 • Задание №19
На доске написаны три различных однозначных натуральных числа. К каждому из них приписали слева одну и ту же ц...
ID 66437 • Задание №10
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек $a= минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби$ $a= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби$ $a= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби$ и/или $a= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби$
| 3
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a $левая круглая скобка a= минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби , a= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби , a= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби , a= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка$ , но неверно определены промежутки значений a.
ИЛИ
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.
| 2
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен или промежуток $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби ; дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка$ или два промежутка $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка$ , возможно, с включением граничных точек.
ИЛИ
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически).
| 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек $a= минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби$ $a= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби$ $a= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби$ и/или $a= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби$
| 3
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a $левая круглая скобка a= минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби , a= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби , a= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби , a= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка$ , но неверно определены промежутки значений a.
ИЛИ
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.
| 2
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен или промежуток $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби ; дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка$ или два промежутка $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка$ , возможно, с включением граничных точек.
ИЛИ
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически).
| 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №18 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 70718
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 6k минус левая круг...
ID 70719
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая с...
ID 70720
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка логарифм по основанию 8 ле...
ID 70721
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим...
ID 70722
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс ...