а)  Заметим, что $2 \cos ^2 x= ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x ) ^2$ и выделим левой части уравнения полный квадрат суммы $\sqrt{аргумента: 2} аргумента \cos x + \cos ^2 4x$ Имеем:

$2 \cos ^2 x + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x \cdot \cos ^2 4x + \cos ^2 4x=0 = сильно$

$ = сильно ( 2 \cos ^2 x + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x \cdot \cos ^2 4x + \cos в степени ( 4 ) 4x ) + \cos ^2 4x - \cos в степени ( 4 ) 4x=0 = сильно$

$ = сильно ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x + \cos ^2 4x ) ^2 + \cos ^2 4x \cdot ( 1 - \cos ^2 4x ) =0 = сильно$

$ = сильно ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x + \cos ^2 4x ) ^2 + \cos ^2 4x \cdot \sin ^2 4x=0$

Сумма неотрицательных величин равна нулю, только если каждая из них равна нулю, поэтому исходное уравнение = сильно системе:

$$$\begin{cases} новая строка $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x + \cos ^2 4x=0 \\[6pt] новая строка \cos ^2 4x \cdot \sin ^2 4x=0 \end{cases}$$$

Рассмотрим второе уравнение системы. Возможны два случая: $\cos 4x =0$ или $\sin 4x=0$
Если, $\cos 4x = 0$ то имеем:

$$$\begin{cases} новая строка $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x=0 \\[6pt] новая строка \cos 4x = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \cos x=0 \\[6pt] новая строка \cos 4x = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k \\[6pt] k принадлежит Z \\[6pt] новая строка \cos 4 ( $\frac{\pi}{2}$ + \pi k ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k \\[6pt] новая строка \cos ( 2 \pi + 4 \pi k ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k \\[6pt] новая строка \cos 2 \pi = 0. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x=0 \\[6pt] новая строка \cos 4x = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \cos x=0 \\[6pt] новая строка \cos 4x = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k \\[6pt] k принадлежит Z \\[6pt] новая строка \cos 4 ( $\frac{\pi}{2}$ + \pi k ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k \\[6pt] новая строка \cos ( 2 \pi + 4 \pi k ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k \\[6pt] новая строка \cos 2 \pi = 0. \end{cases}$$$

Последнее равенство невозможно, а значит, система не имеет решений.
Если $\sin 4x = 0$ то $\cos ^2 4x = 1 - \sin ^2 4x =1$ откуда имеем:

$$$\begin{cases} новая строка $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x + 1=0 \\[6pt] новая строка \sin 4x = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \cos x= - \frac{$\sqrt{2}$}{2} \\[6pt] новая строка \sin 4x = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x= \pm $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k \\[6pt] k принадлежит Z \\[6pt] новая строка \sin 4 ( \pm $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x= \pm $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k \\[6pt] новая строка \sin ( \pm 3 \pi + 8 \pi k ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x= \pm $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k \\[6pt] новая строка \pm \sin 3 \pi = 0. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x + 1=0 \\[6pt] новая строка \sin 4x = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \cos x= - \frac{$\sqrt{2}$}{2} \\[6pt] новая строка \sin 4x = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x= \pm $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k \\[6pt] k принадлежит Z \\[6pt] новая строка \sin 4 ( \pm $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x= \pm $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k \\[6pt] новая строка \sin ( \pm 3 \pi + 8 \pi k ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x= \pm $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k \\[6pt] новая строка \pm \sin 3 \pi = 0. \end{cases}$$$

Последнее равенство верно, а значит, числа $\pm $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, k принадлежит Z$ являются решениями системы, а вместе с ней и исходного уравнения.

б)  Отберём корни, лежащие на отрезке $[ - 2 \pi ; \pi ]$ при помощи единичной окружности (см. рис.).

[рис.]

Находим: $x_1= - 2 \pi + $\frac{3 \pi}{4}$ = - \frac{5 \pi}{4}$ $x_2= - \pi + $\frac{\pi}{4}$ = - \frac{3 \pi}{4}$ $x_3= \frac{3 \pi}{4}$

Ответ: а) $\pm $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k,k принадлежит Z$ б) $ - $\frac{5 \pi}{4}$ ; - $\frac{3 \pi}{4}$ ; \frac{3 \pi}{4}$