а)  Последовательно получаем:

$\log _100 ( \cos 2x + \cos $\frac{x}{2}$ ) + \log _ $\frac{1}{100}$ ( \sin x + \cos $\frac{x}{2}$ ) =0 \Rightarrow$
$\Rightarrow \cos 2x + \cos x $\frac{x}{2}$ = \sin x + \cos $\frac{x}{2}$ = сильно \cos 2x= \sin x = сильно$
$ = сильно 1 - 2 \sin ^2 x - \sin x=0 = сильно 2 \sin ^2 x + \sin x - 1=0 = сильно$
$ = сильно \sin x= \frac{ - 1\pm $\sqrt{аргумента: 1 + 8}$ аргумента}{4} = сильно \sin x= $\frac{ - 1\pm 3}{4}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \sin x= - 1 , новая строка \sin x= $\frac{1}{2}$ . \end{array} \right.$

Покажем, что решения уравнения $\sin x= - 1$ не удовлетворяют исходному уравнению, в котором должно выполняться условие: $\sin x + \cos $\frac{x}{2}$ больше 0$
Если $\sin x= - 1$ то $ - 1 + \cos $\frac{x}{2}$ больше 0$   $ = сильно$   $\cos $\frac{x}{2}$ больше 1$ что не выполнимо ни при каких значениях $x$
«Претендентами» на решения заданного уравнения остаются числа вида: $\frac{\pi}{6} + 2 \pi n,n принадлежит Z$ и $\frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n,n принадлежит Z$ Проверим их пригодность для исходного уравнения поочередно, руководствуясь тем, что \log по допустимому основанию существует лишь для положительных чисел.

$1 ) $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi n,n принадлежит Z$

Заметим, что наименьший положительный период функции $f ( x ) = \sin x + \cos \frac{x}{2}$ есть число $4 \pi k,k принадлежит Z$ (как наименьшее общее кратное положительных периодов слагаемых функций: для функции $y_1= \sin x$   — это $2 \pi$ для функции $y_2= \cos \frac{x}{2}$   — число $4 \pi$ ). Следовательно, в дополнительной проверке нуждаются решения, соответствующие четным и нечетным значениям $n$
Если $n=0$ то $x= $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{x}{2}$ = \frac{\pi}{12}$ Ясно, что $\sin $\frac{\pi}{6}$ + \cos $\frac{\pi}{12}$ больше 0$
Если $n=1$ то $x= $\frac{13 \pi}{6}$ , $\frac{x}{2}$ = \frac{13 \pi}{12}$

$\sin $\frac{13 \pi}{6}$ + \cos $\frac{13 \pi}{12}$ = $\frac{1}{2}$ + \cos ( \pi + $\frac{\pi}{12}$ ) = $\frac{1}{2}$ - \cos \frac{\pi}{12}$

Но $\cos $\frac{\pi}{12}$ больше \frac{1}{2}$ $\sin x + \cos $\frac{x}{2}$ меньше 0$ Следовательно, при нечетных n числа вида $\frac{\pi}{6} + 2 \pi n,n принадлежит Z$ не могут быть решениями исходного уравнения.
Отсюда и выводы:
  — решения уравнения-следствия, представляемые числами вида $\frac{\pi}{6} + 2 \pi n,n принадлежит Z$ лишь при четных значениях $n=2k$ могут быть решениями исходного уравнения;
  — поскольку наименьший положительный период функции $g ( x ) = \cos 2x + \cos \frac{x}{2}$ также равен $4 \pi k$ а серия корней  $\frac{\pi}{6} + 2 \pi n,n принадлежит Z$ получена из равенства $\cos 2x + \cos x $\frac{x}{2}$ = \sin x + \cos \frac{x}{2}$ то при значениях $x= $\frac{\pi}{6}$ + 4 \pi k,k принадлежит Z$ также будет обеспечено выполнение условия $\cos 2x + \cos x $\frac{x}{2}$ больше 0$

$2 ) $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n,n принадлежит Z$

Исследование этой серии корней проводится аналогично с тем, как это было сделано для серии корней $\frac{\pi}{6} + 2 \pi n,n принадлежит Z$ Однако при этом все решения уравнения-следствия окажутся подходящими и для исходного уравнения. Докажем это.
Если $n=0$ то $x= $\frac{5 \pi}{6}$ , $\frac{x}{2}$ = $\frac{5 \pi}{12}$ ; \sin $\frac{5 \pi}{6}$ + \cos $\frac{5 \pi}{12}$ = $\frac{1}{2}$ + \cos $\frac{5 \pi}{12}$ больше 0$
Если $n=1$ то $x= $\frac{17 \pi}{6}$ , $\frac{x}{2}$ = \frac{17 \pi}{12}$

$\sin $\frac{17 \pi}{6}$ + \cos $\frac{17 \pi}{12}$ = $\frac{1}{2}$ + \cos ( \pi + $\frac{5 \pi}{12}$ ) = $\frac{1}{2}$ - \cos \frac{5 \pi}{12}$
$\cos $\frac{5 \pi}{12}$ = \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) = \sin \frac{\pi}{12}$

А $\sin $\frac{\pi}{12}$ меньше \sin $\frac{\pi}{6}$ = \frac{1}{2}$ Т. е. $\sin $\frac{17 \pi}{6}$ + \cos $\frac{17 \pi}{12}$ больше 0$

б)  Нетрудно заметить, что на отрезке $[ $\frac{\pi}{2}$ ;2 \pi ]$ лежит единственный корень $\frac{5 \pi}{6}$
Замечания:
1.  Символ $\Rightarrow$ в записи « $\log _100 ( \cos 2x + \cos $\frac{x}{2}$ ) + \log _ $\frac{1}{100}$ ( \sin x + \cos $\frac{x}{2}$ ) =0 \Rightarrow \cos 2x + \cos x $\frac{x}{2}$ = \sin x + \cos \frac{x}{2}$ » означает, что уравнение $\cos 2x + \cos x $\frac{x}{2}$ = \sin x + \cos \frac{x}{2}$ является следствием уравнения $\log _100 ( \cos 2x + \cos $\frac{x}{2}$ ) + \log _ $\frac{1}{100}$ ( \sin x + \cos $\frac{x}{2}$ ) =0$ у которого множество решений, быть может, шире, нежели у уравнения  — посылки; расширение множества решений в нашем случае могло произойти только за счет расширения множества значений переменной, на котором оно (уравнение) может рассматриваться. Потому потребовалась проверка пригодности найденных решений и отсеивание посторонних.
2.  Предложение ««Претендентами» на решения заданного уравнения остаются числа вида: $\frac{\pi}{6} + 2 \pi n,n принадлежит Z$ и $\frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n,n принадлежит Z$ » не следует рассматривать как некорректность применения союза «и». В контексте приведенного предложения союз «и» играет всего лишь роль союза, применяемого между однородными членами предложения; здесь союз «и» не может служить логической связкой, образующей некую конъюнкцию двух элементарных высказываний (предикатов), впрочем, которой здесь и нет.

Ответ: а) $\frac{\pi}{6} + 4 \pi k,k принадлежит Z; $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n,n принадлежит Z$ б) $\frac{5 \pi}{6}$