[рис.] Для удобства будем считать, что куб единичный. Тогда отрезки AE и CF равны по $\frac{2}{3}$ В плоскости грани ABB1A1 продолжим прямую BE до пересечения с прямой A1B1, в плоскости грани BB1С1С продолжим прямую BF до пересечения с прямой B1C1. Полученные точки P и S лежат в одной плоскости грани A1B1C1D1. Соединяя их, получим точки M и N, как пересечения PS с ребрами A1D1 и D1C1 соответственно. Осталось соединить все точки, и в сечении получается пятиугольник BEMNF.
Треугольники A1PE и ABE подобны по 2 углам (∠PEA1 = ∠BEA, как вертикальные; ∠PA1E = ∠EAB  =  90°), тогда

$\frac{PA_1}{AB} = $\frac{A_1E}{EA}$ \RightarrowPA_1 = \frac{1}{2}$

Аналогично $C_1S = \frac{1}{2}$ Далее, треугольники PA1M и PB1S подобны по 2-м углам, откуда получим:

$\frac{A_1M}{B_1S} = $\frac{PA_1}{PB_1}$ \RightarrowA_1M = $\frac{3}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \Bigr/ $\frac{3}{2}$ = \frac{1}{2}$

Аналогично $NC_1 = \frac{1}{2}$
Объем нужной нам части можно найти, как разность объемов прямоугольной пирамиды $PBB_1S$ и прямоугольных пирамид $PA_1ME$ и $SC_1NF$ (так как эти малые пирамиды равны, то можно просто вычесть 2 объема одной пирамиды):

$V_PBB_1S = $\frac{1}{3}$ S_BB_1S \cdot B_1P = $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot 1 \cdot $\frac{3}{2}$ \cdot $\frac{3}{2}$ = \frac{3}{8}$

$V_PA_1ME = $\frac{1}{3}$ S_A_1ME \cdot A_1P = $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ = \frac{1}{72}$

Тогда получим:

$V_o = V_PBB_1S - 2V_PA_1ME = $\frac{3}{8}$ - 2 \cdot $\frac{1}{72}$ = \frac{25}{72}$

Ответ: 25 : 72.