При каких значениях a уравнение
$2 \pi ^2 ( x - 1 ) ^2 + 4a \cos ( 2 \pi x ) - 9a ^3 =0$
имеет единственное решение?
$2 \pi ^2 ( x - 1 ) ^2 + 4a \cos ( 2 \pi x ) - 9a ^3 =0$
имеет единственное решение?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Сделаем замену $x\mapsto 2 - x$ Очевидно, если x было корнем уравнения, то и $2 - x$ будет его корнем.
Поэтому единственный корень может быть только если $x=2 - x$ то есть $x=1$
Тогда уравнение превращается в $4a - 9a ^3 =0$ и выполняется при $a=0$ $a=\pm \frac{2}{3}$
Осталось выяснить, сколько корней будет при этих значениях a.
1) $a=0$ Тогда $2 \pi ^2 ( x - 1 ) ^2 =0$ имеет единственный корень.
2) $a= \frac{2}{3}$ Тогда $2 \pi ^2 ( x - 1 ) ^2 + $\frac{8}{3}$ ( \cos 2 \pi x - 1 ) =0$ При $x= \frac{1}{2}$ значение будет $\frac{\pi ^2}{2} - $\frac{16}{3}$ меньше 0$ при $x=0$ значение будет $2 \pi ^2 больше 0$ поэтому на отрезке $[ 0; $\frac{1}{2}$ ]$ есть еще корень.
3) $a= - \frac{2}{3}$ Тогда $2 \pi ^2 ( x - 1 ) ^2 + $\frac{8}{3}$ ( 1 - \cos 2 \pi x ) =0$ Очевидно, оба слагаемых неотрицательны, причем оба равны нулю только при $x=1$
Ответ: $a=0$ $a= - \frac{2}{3}$
Поэтому единственный корень может быть только если $x=2 - x$ то есть $x=1$
Тогда уравнение превращается в $4a - 9a ^3 =0$ и выполняется при $a=0$ $a=\pm \frac{2}{3}$
Осталось выяснить, сколько корней будет при этих значениях a.
1) $a=0$ Тогда $2 \pi ^2 ( x - 1 ) ^2 =0$ имеет единственный корень.
2) $a= \frac{2}{3}$ Тогда $2 \pi ^2 ( x - 1 ) ^2 + $\frac{8}{3}$ ( \cos 2 \pi x - 1 ) =0$ При $x= \frac{1}{2}$ значение будет $\frac{\pi ^2}{2} - $\frac{16}{3}$ меньше 0$ при $x=0$ значение будет $2 \pi ^2 больше 0$ поэтому на отрезке $[ 0; $\frac{1}{2}$ ]$ есть еще корень.
3) $a= - \frac{2}{3}$ Тогда $2 \pi ^2 ( x - 1 ) ^2 + $\frac{8}{3}$ ( 1 - \cos 2 \pi x ) =0$ Очевидно, оба слагаемых неотрицательны, причем оба равны нулю только при $x=1$
Ответ: $a=0$ $a= - \frac{2}{3}$
Правильный ответ:
$a=0$ $a= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68435 • Задание №14
Через вершину S конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках A и B. Высота конуса SO равн...
ID 68878 • Задание №15
Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 2|x| плюс 1 правая круглая скобка левая круглая...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a
ИЛИ
установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a
ИЛИ
установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...