[рис.] а)  Пусть O  — центр верхнего основания, N  — центр грани $BB_1C_1C$ Отметим точку T на $B_1C_1$ так, чтобы $B_1T:TC_1=2:1$ Тогда T симметрична M относительно N и лежит на прямой MN. Поскольку O делит высоту грани $A_1B_1C_1$ , проведенную из вершины $B_1$ в отношении $2:1$ то прямая OT параллельна прямой AC. Поэтому плоскость OTN (описанная в условии) содержит точку M, что и требовалось доказать.
б)   Отметим на AB точку S так чтобы $BS:SA=1:2$ Тогда прямые SM, AC и OT параллельны друг другу и

$SM= $\frac{1}{3}$ AC= $\frac{1}{3}$ A_1C_1= $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{2}{3}$ A_1C_1=OT$

Следовательно, OTMS  — параллелограмм и прямая TM параллельна прямой SO. Тогда

$\angle ( B_1K,MN ) =\angle ( B_1O, MT ) =\angle ( B_1O, SO ) =\angle B_1OS$

Обозначим за $T_1$ проекцию T на BC. Тогда

[рис.]
$MT= $\sqrt{аргумента: MT_1 ^2 + T_1T ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 13 + $\frac{1}{9}$ BC ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 121}$ аргумента =11$

В треугольнике $B_1OS$ имеем

$B_1O= $\frac{2}{3}$ B_1K= $\frac{2}{3}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cdot A_1C_1= \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} \cdot 18 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =18$
$B_1S= $\sqrt{аргумента: B_1B ^2 + BS ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 13 + $\frac{1}{9}$ BA ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 121}$ аргумента =11=MT$

Итак, треугольник $OSB_1$ = бедренный. Обозначим за H середину отрезка $B_1O$ тогда

$\angle B_1OS= \arccos $\frac{HO}{SO}$ = \arccos \frac{9}{11}$

Ответ: б) $\arccos \frac{9}{11}$