[рис.] а)  Пусть T  — точка на $B_1A_1$ такая, что $B_1T=1$ N  — середина отрезка BC. Тогда KNLT  — сечение. Сразу отметим, что прямая BM перпендикулярна прямой KN по теореме о трех перпеникулярах, поскольку проекция BM на плоскость нижнего основания  — высота треугольника BAC, а прямая KN параллельна прямой AC.
Рассмотрим теперь сечение призмы плоскостью $BB_1M$ Это прямоугольник со сторонами 3 и $\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} BC=3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Отметим на его сторонах точки $T_1$ и $K_1$ пересечения с LT и KN соответственно (они делят его стороны в отношениях $1:5$ и $1:1$ соответственно). Докажем, что прямая BM перпендикулярна прямой $T_1K_1$ Обозначим за O их точку пересечения и за $K_2$ проекцию $K_1$ на $B_1M$ (она же середина $B_1M$ ). Далее:

$\text{tg} \angle BMB_1=BB_1:B_1M=3:3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =1: $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

откуда $\angle BMB_1=30 в степени ( \circ )$ Далее:

[рис.]
$\text{tg} \angle K_1T_1K_2=K_1K_2:K_2T_1=3: $\frac{1}{3}$ B_1M= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

поэтому $\angle K_1T_1M=60 в степени ( \circ )$ Значит,

$\angle MOT_1=180 в степени ( \circ ) - \angle OMT_1 - \angle OT_1M=180 в степени ( \circ ) - 60 в степени ( \circ ) - 30 в степени ( \circ ) =90 в степени ( \circ )$

что и требовалось доказать.
Итак, BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости KNLT, поэтому прямая BM перпендикулярна плоскости KNLT.
б)  Имеем:

$MO=MT_1 \cos \angle OMT_1= $\frac{5}{6}$ \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = \frac{15}{4}$

Это по пункту а) высота пирамиды. Ее основание  — трапеция, высота которой  — $T_1K_1$ (поскольку проекция этого отрезка на плоскость верхнего основания  — высота треугольника и перпендикулярна прямой LT, которая параллельна прямой $A_1C_1$ то и сам отрезок по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярен основанию трапеции). Значит,

$S_KNLT= $\frac{KN + LT}{2}$ \cdot T_1K_1= \frac{$\frac{1}{2}$ AC + $\frac{1}{6}$ AC,}{2} \cdot $\frac{K_1K_2}{\sin \angle K_1T_1K_2}$ = $\frac{1}{3}$ AC \cdot \frac{6}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} =2 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ $S_KNLT= $\frac{KN + LT}{2}$ \cdot T_1K_1= \frac{$\frac{1}{2}$ AC + $\frac{1}{6}$ AC,}{2} \cdot $\frac{K_1K_2}{\sin \angle K_1T_1K_2}$ =$
$= $\frac{1}{3}$ AC \cdot \frac{6}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} =2 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ $S_KNLT= $\frac{KN + LT}{2}$ \cdot T_1K_1=$
$= \frac{$\frac{1}{2}$ AC + $\frac{1}{6}$ AC,}{2} \cdot $\frac{K_1K_2}{\sin \angle K_1T_1K_2}$ =$
$= $\frac{1}{3}$ AC \cdot \frac{6}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} =2 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Окончательно,

$V_MKNLT= $\frac{1}{3}$ d ( M,KNLT ) \cdot S_KNLT=5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Ответ: $5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$