Преобразуем неравенство:

$$$\begin{cases} ( \log_{левая} круглая скобка 1 - 2x ) ( x + 1 ) + \log_{левая} круглая скобка 1 - 2x ) ( 1 - 2x ) ^2 ) \cdot \log_{левая} круглая скобка 1 - 2x ) ( x + 1 ) \leqslant - 1 \\[6pt] x + 1 не = 1. \end{cases}$$$

Сделаем замену $y= \log_{левая} круглая скобка 1 - 2x ) ( x + 1 )$ Получаем: $( y + 2 ) y\leqslant - 1; ( y + 1 ) ^2 \leqslant0;y= - 1$
Сделаем обратную замену: $\log_{левая} круглая скобка 1 - 2x ) ( x + 1 ) = - 1$ Тогда

$$$\begin{cases} ( 1 - 2x ) ( x + 1 ) =1 \\[6pt] x + 1 больше 0 \\[6pt] 1 - 2x не = 1 \\[6pt] x + 1 не = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} - 2x ^2 - x=0 \\[6pt] x больше - 1 \\[6pt] x не = 0 \end{cases}$$$

откуда x = −0,5.

Ответ: −0,5.