[рис.] а)  Отрезок PN лежит в плоскости SPA и является высотой треугольника SPA. Пусть H  — это точка пересечения PN и SO, точка пересечения его высот. Четырехугольник SPON является вписанным в окружность с диаметром SP и, следовательно, углы SPA и ANO равны, откуда треугольники ANO и ASP подобны по двум углам. Коэффициент подобия этих треугольников равен

$k= $\frac{NO}{PS}$ = $\frac{AO}{AS}$ = \sin ASO$

б)  Высота треугольника ABC равна $AP= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} AB=18$ тогда $AO= $\frac{2}{3}$ AP=12$ Следовательно, $AS= $\frac{AO}{\sin \angle ASO}$ = 4 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$ откуда можно найти высоту пирамиды: $SO = $\sqrt{аргумента: AS ^2 - AO ^2}$ аргумента =8$ Найдем объем пирамиды SABC:

$V_SABC = $\frac{1}{3}$ \cdot SO \cdot S_ABC = $\frac{1}{6}$ \cdot SO \cdot AP \cdot BC = $\frac{8 \cdot 18 \cdot 12\sqrrt3}{6}$ =288 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Этот же объем может быть вычислен при помощи формулы $V_ABC= $\frac{1}{3}$ \cdot h_a \cdot S_ABC$ где ha  — длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A. В треугольнике SPA проведем AK перпендикулярно SP. В силу перпендикулярности прямой ВС и плоскости SPA (что следует из перпендикулярности BC прямым SP и AP), прямые AK и ВС также перпендикулярны, а потому прямая АК перпендикулярна плоскости SBC, то есть является высотой пирамиды. Пусть d  — это искомое расстояние от точки O до плоскости SBC. Это расстояние = расстоянию от O до отрезка SP и составляет одну третью длины АР. Имеем: $SP= $\sqrt{аргумента: SB ^2 - PB ^2}$ аргумента =10$ $S_ABC = $\frac{1}{2}$ \cdot BC \cdot SP = 60 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ тогда

$d= $\frac{h_a}{3}$ = $\frac{V_SABC}{S_ABC}$ = \frac{24}{5}$

Ответ: б) $\frac{24}{5}$