1.  Решим первое неравенство системы:

$\log_{левая} круглая скобка 5 - x ) $\frac{x + 4}{( x - 5 ) в степени ( 10 )}$ \geqslant - 10 = сильно \log_{левая} круглая скобка 5 - x ) ( x + 4 ) - \log_{левая} круглая скобка 5 - x ) ( x - 5 ) в степени ( 10 ) \geqslant - 10 = сильно \log_{левая} круглая скобка 5 - x ) ( x + 4 ) \geqslant0$ $\log_{левая} круглая скобка 5 - x ) $\frac{x + 4}{( x - 5 ) в степени ( 10 )}$ \geqslant - 10 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка 5 - x ) ( x + 4 ) - \log_{левая} круглая скобка 5 - x ) ( x - 5 ) в степени ( 10 ) \geqslant - 10 = сильно \log_{левая} круглая скобка 5 - x ) ( x + 4 ) \geqslant0$ $\log_{левая} круглая скобка 5 - x ) $\frac{x + 4}{( x - 5 ) в степени ( 10 )}$ \geqslant - 10 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка 5 - x ) ( x + 4 ) - \log_{левая} круглая скобка 5 - x ) ( x - 5 ) в степени ( 10 ) \geqslant - 10 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка 5 - x ) ( x + 4 ) \geqslant0$

Рассмотрим два случая. Первый случай: $0 меньше 5 - x меньше 1$

$$$\begin{cases} \log_{левая} круглая скобка 5 - x ) ( x + 4 ) \geqslant0 \\[6pt] 0 меньше 5 - x меньше 1 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} 0 меньше x + 4\leqslant1 \\[6pt] 4 меньше x меньше 5. \end{cases}$$ решенийнет$

Второй случай: $5 - x больше 1$ Имеем:

$$$\begin{cases} \log_{левая} круглая скобка 5 - x ) ( x + 4 ) \geqslant0 \\[6pt] 5 - x больше 1 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} x + 4\geqslant1 \\[6pt] x меньше 4. \end{cases}$$ = сильно - 3 меньше или = x меньше 4$

2.  Решим второе неравенство системы:

$x ^3 + 8x ^2 + $\frac{50x ^2 + x - 7}{x - 7}$ \leqslant1 = сильно x ^3 + 8x ^2 + $\frac{50x ^2}{x - 7}$ \leqslant0 = сильно$
$ = сильно $\frac{x в степени ( 4 ) + x ^3 - 6x ^2}{x - 7}$ \leqslant0 = сильно $\frac{x ^2 ( x - 2 ) ( x + 3 )}{x - 7}$ \leqslant0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x\leqslant - 3, новая строка x=0, новая строка 2 меньше или = x меньше 7. \end{array} \right.$ $x ^3 + 8x ^2 + $\frac{50x ^2 + x - 7}{x - 7}$ \leqslant1 = сильно$
$ = сильно x ^3 + 8x ^2 + $\frac{50x ^2}{x - 7}$ \leqslant0 = сильно $\frac{x в степени ( 4 ) + x ^3 - 6x ^2}{x - 7}$ \leqslant0 = сильно$
$ = сильно $\frac{x ^2 ( x - 2 ) ( x + 3 )}{x - 7}$ \leqslant0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x\leqslant - 3, новая строка x=0, новая строка 2 меньше или = x меньше 7. \end{array} \right.$

3.  Пересекая полученные множества найдём решение исходной системы неравенств: $\{ - 3;0 \} \cup [ 2;4 )$
Таким образом, решением системы неравенств является числовой промежуток $[ 2;4 )$ и числа 0 и −3.

Ответ: $\{ - 3;0 \} \cup [ 2;4 )$