Найдем производную заданной функции:

$y'=2 \cdot $\frac{1}{\cos ^2 x}$ - 4= $\frac{ - 2 ( 2 \cos ^2 x - 1 )}{\cos ^2 x}$ = \frac{ - 2 \cos 2x}{\cos ^2 x}$

Производная определена во всех точках заданного отрезка. Найдем ее нули на этом отрезке:

$$$\begin{cases} новая строка \cos 2x=0 \\[6pt] новая строка - $\frac{2 \pi}{3}$ меньше или = 2x меньше или = $\frac{2 \pi}{3}$ \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка 2x= $\frac{\pi}{2}$ , новая строка 2x= - $\frac{\pi}{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x= $\frac{\pi}{4}$ , новая строка x= - $\frac{\pi}{4}$ . \end{array} \right.$

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
[рис.]
Наименьшим значением функции на заданном отрезке будет наименьшее из чисел $y ( - $\frac{\pi}{3}$ )$ и $y ( $\frac{\pi}{4}$ )$ Найдем их:

$y ( - $\frac{\pi}{3}$ ) = - 4 ( - $\frac{\pi}{3}$ ) + 2 \text{tg} ( - $\frac{\pi}{3}$ ) + \pi - 3= $\frac{7 \pi}{3}$ - 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 3 больше 0$

$y ( $\frac{\pi}{4}$ ) =2 \cdot 1 - 4 ( $\frac{\pi}{4}$ ) + \pi - 3= - 1$

Заметим, что $y ( - $\frac{\pi}{3}$ ) больше y ( $\frac{\pi}{4}$ )$ поэтому наименьшее значение функции на отрезке = −1.

Ответ: −1.