Найдем производную заданной функции:

$y'= $\frac{7}{\cos ^2 x}$ - 14= $\frac{ - 7 ( 2 \cos ^2 x - 1 )}{\cos ^2 x}$ = - \frac{7 \cos 2x}{\cos ^2 x}$

Найдем нули производной:

$$$\begin{cases} новая строка 7 \cos 2x=0 \\[6pt] новая строка - $\frac{\pi}{3}$ меньше x меньше $\frac{\pi}{3}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x= $\frac{\pi}{4}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \\[6pt] k принадлежит Z \\[6pt] - $\frac{\pi}{3}$ меньше x меньше $\frac{\pi}{3}$ \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x= $\frac{\pi}{4}$ , новая строка x= - $\frac{\pi}{4}$ . \end{array} \right.$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
[рис.]
Функция может принимать наименьшее значение в точках $x= - \frac{\pi}{3}$ или $x= \frac{\pi}{4}$ Найдем их:

$y ( - $\frac{\pi}{3}$ ) = - 7 \text{tg} $\frac{\pi}{3}$ + 14 \cdot $\frac{\pi}{3}$ + $\frac{7 \pi}{2}$ + 11 = - 7 $\sqrt{3}$ + $\frac{49}{6}$ \pi + 11$
$y ( $\frac{\pi}{4}$ ) =7 \text{tg} $\frac{\pi}{4}$ - 3,5 \pi + 3,5 \pi + 11=18$

Поскольку $y ( - \pi /3 ) больше - 14 + 24 + 11 = 21$ наименьшее из найденных чисел =  18.

Ответ: 18.