Решите неравенство $\log_{2} ( x ^2 - 8x + 6 ) больше или = 2 + $\frac{1}{2}$ \log_{2} ( 2x - 1 )$
💡 Пошаговый разбор и решение:
Найдем ограничения на x.
$$$\begin{cases} новая строка x ^2 - 8x + 6 больше 0 \\[6pt] новая строка x больше $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше 4 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка x больше 4 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \end{cases}$$ . , новая строка x больше $\frac{1}{2}$ . \end{array} \right.$
Для таких x:
$\log_{2} ( x ^2 - 8x + 6 ) больше или = 2 + $\frac{1}{2}$ \log_{2} ( 2x - 1 ) = сильно \log_{2} ( x ^2 - 8x + 6 ) больше или = \log_{2} 4 + \log_{2} $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента = сильно$ $\log_{2} ( x ^2 - 8x + 6 ) больше или = 2 + $\frac{1}{2}$ \log_{2} ( 2x - 1 ) = сильно$
$ = сильно \log_{2} ( x ^2 - 8x + 6 ) больше или = \log_{2} 4 + \log_{2} $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента = сильно$
$ = сильно \log_{2} ( x ^2 - 8x + 6 ) больше или = \log_{2} ( 4 $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента ) = сильно x ^2 - 8x + 6 больше или = 4 $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента = сильно$
$ = сильно x ^2 - 8x + 6 больше или = ( 2x - 1 ) + 4 $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента + 4 - ( 2x - 1 ) - 4 = сильно$
$ = сильно x ^2 - 8x + 6 + 2x - 1 + 4 больше или = ( 2x - 1 ) + 4 $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента + 4 = сильно$
$ = сильно x ^2 - 6x + 9 больше или = ( $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента + 2 ) ^2 = сильно ( x - 3 ) ^2 - ( $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента + 2 ) ^2 больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( x - 3 - $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента - 2 ) \cdot ( x - 3 + $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента + 2 ) больше или = 0 = сильно ( x - 5 - $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента ) \cdot ( x - 1 + $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента ) больше или = 0$ $ = сильно ( x - 3 - $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента - 2 ) \cdot ( x - 3 + $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента + 2 ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( x - 5 - $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента ) \cdot ( x - 1 + $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента ) больше или = 0$
Пусть $\sqrt{аргумента: 2x - 1} аргумента =t больше или = 0$ тогда $2x - 1=t ^2 = сильно x= \frac{t ^2 + 1}{2}$
$( $\frac{t ^2 + 1}{2}$ - 5 - t ) \cdot ( $\frac{t ^2 + 1}{2}$ - 1 + t ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( t ^2 + 1 - 10 - 2t ) \cdot ( t ^2 + 1 - 2 + 2t ) больше или = 0 = сильно ( t ^2 - 2t - 9 ) \cdot ( t ^2 + 2t - 1 ) больше или = 0$ $( $\frac{t ^2 + 1}{2}$ - 5 - t ) \cdot ( $\frac{t ^2 + 1}{2}$ - 1 + t ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( t ^2 + 1 - 10 - 2t ) \cdot ( t ^2 + 1 - 2 + 2t ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( t ^2 - 2t - 9 ) \cdot ( t ^2 + 2t - 1 ) больше или = 0$
Решим вспомогательные уравнения. Первое:
$t ^2 - 2t - 9=0 = сильно t=1\pm $\sqrt{аргумента: 1 + 9}$ аргумента = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка t=1 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента , новая строка t=1 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента . \end{array} \right.$
Корень $1 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента меньше 0$ следовательно, посторонний. Второе:
$t ^2 + 2t - 1=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка t=1 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента , новая строка t=1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента . \end{array} \right.$
Корень $1 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 0$ т. е. посторонний. Далее продолжим решение неравенства относительно t методом интервалов.
Интервалы
$( 0; - 1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )$
$( - 1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ;1 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента )$
$( 1 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ; + бесконечность )$
Знак выражения
+
−
+
Итак, $0 меньше или = $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента меньше или = - 1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно 0 меньше или = 2x - 1 меньше или = 1 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2 = сильно 1 меньше или = 2x меньше или = 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно $\frac{1}{2}$ меньше или = x меньше или = 2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
$\sqrt{аргумента: 2x - 1} аргумента больше или = 1 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно 2x - 1 больше или = 1 + 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 10 = сильно 2x больше или = 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно x больше или = 6 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$ $\sqrt{аргумента: 2x - 1} аргумента больше или = 1 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно 2x - 1 больше или = 1 + 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 10 = сильно$
$ = сильно 2x больше или = 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно x больше или = 6 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$
Докажем, что $\frac{1}{2} меньше 2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 4 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$
$1 меньше 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 8 - 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно - 3 меньше - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 4 меньше 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 3 = сильно$ $1 меньше 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 8 - 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно$
$ = сильно - 3 меньше - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 4 меньше 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 3 = сильно$ $1 меньше 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 8 - 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно$
$ = сильно - 3 меньше - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 4 меньше 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 3 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 3 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента больше $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 8 меньше 9 \\[6pt] новая строка 2 больше 10 - 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 4 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 8 меньше 9 \\[6pt] новая строка 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента больше 12 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 8 меньше 9 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента больше 3 . \end{cases}$$$ $ = сильно $$\begin{cases} новая строка 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 3 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента больше $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 8 меньше 9 \\[6pt] новая строка 2 больше 10 - 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 4 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 8 меньше 9 \\[6pt] новая строка 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента больше 12 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 8 меньше 9 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента больше 3 . \end{cases}$$$
Доказано. С учетом ограничений на x получим искомое решение $( $\frac{1}{2}$ ;2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ] \cup [ 6 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ; + бесконечность )$
Ответ: $( $\frac{1}{2}$ ;2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ] \cup [ 6 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ; + бесконечность )$
$$$\begin{cases} новая строка x ^2 - 8x + 6 больше 0 \\[6pt] новая строка x больше $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше 4 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка x больше 4 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \end{cases}$$ . , новая строка x больше $\frac{1}{2}$ . \end{array} \right.$
Для таких x:
$\log_{2} ( x ^2 - 8x + 6 ) больше или = 2 + $\frac{1}{2}$ \log_{2} ( 2x - 1 ) = сильно \log_{2} ( x ^2 - 8x + 6 ) больше или = \log_{2} 4 + \log_{2} $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента = сильно$ $\log_{2} ( x ^2 - 8x + 6 ) больше или = 2 + $\frac{1}{2}$ \log_{2} ( 2x - 1 ) = сильно$
$ = сильно \log_{2} ( x ^2 - 8x + 6 ) больше или = \log_{2} 4 + \log_{2} $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента = сильно$
$ = сильно \log_{2} ( x ^2 - 8x + 6 ) больше или = \log_{2} ( 4 $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента ) = сильно x ^2 - 8x + 6 больше или = 4 $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента = сильно$
$ = сильно x ^2 - 8x + 6 больше или = ( 2x - 1 ) + 4 $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента + 4 - ( 2x - 1 ) - 4 = сильно$
$ = сильно x ^2 - 8x + 6 + 2x - 1 + 4 больше или = ( 2x - 1 ) + 4 $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента + 4 = сильно$
$ = сильно x ^2 - 6x + 9 больше или = ( $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента + 2 ) ^2 = сильно ( x - 3 ) ^2 - ( $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента + 2 ) ^2 больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( x - 3 - $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента - 2 ) \cdot ( x - 3 + $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента + 2 ) больше или = 0 = сильно ( x - 5 - $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента ) \cdot ( x - 1 + $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента ) больше или = 0$ $ = сильно ( x - 3 - $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента - 2 ) \cdot ( x - 3 + $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента + 2 ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( x - 5 - $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента ) \cdot ( x - 1 + $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента ) больше или = 0$
Пусть $\sqrt{аргумента: 2x - 1} аргумента =t больше или = 0$ тогда $2x - 1=t ^2 = сильно x= \frac{t ^2 + 1}{2}$
$( $\frac{t ^2 + 1}{2}$ - 5 - t ) \cdot ( $\frac{t ^2 + 1}{2}$ - 1 + t ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( t ^2 + 1 - 10 - 2t ) \cdot ( t ^2 + 1 - 2 + 2t ) больше или = 0 = сильно ( t ^2 - 2t - 9 ) \cdot ( t ^2 + 2t - 1 ) больше или = 0$ $( $\frac{t ^2 + 1}{2}$ - 5 - t ) \cdot ( $\frac{t ^2 + 1}{2}$ - 1 + t ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( t ^2 + 1 - 10 - 2t ) \cdot ( t ^2 + 1 - 2 + 2t ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( t ^2 - 2t - 9 ) \cdot ( t ^2 + 2t - 1 ) больше или = 0$
Решим вспомогательные уравнения. Первое:
$t ^2 - 2t - 9=0 = сильно t=1\pm $\sqrt{аргумента: 1 + 9}$ аргумента = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка t=1 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента , новая строка t=1 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента . \end{array} \right.$
Корень $1 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента меньше 0$ следовательно, посторонний. Второе:
$t ^2 + 2t - 1=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка t=1 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента , новая строка t=1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента . \end{array} \right.$
Корень $1 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 0$ т. е. посторонний. Далее продолжим решение неравенства относительно t методом интервалов.
Интервалы
$( 0; - 1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )$
$( - 1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ;1 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента )$
$( 1 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ; + бесконечность )$
Знак выражения
+
−
+
Итак, $0 меньше или = $\sqrt{аргумента: 2x - 1}$ аргумента меньше или = - 1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно 0 меньше или = 2x - 1 меньше или = 1 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2 = сильно 1 меньше или = 2x меньше или = 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно $\frac{1}{2}$ меньше или = x меньше или = 2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
$\sqrt{аргумента: 2x - 1} аргумента больше или = 1 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно 2x - 1 больше или = 1 + 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 10 = сильно 2x больше или = 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно x больше или = 6 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$ $\sqrt{аргумента: 2x - 1} аргумента больше или = 1 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно 2x - 1 больше или = 1 + 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 10 = сильно$
$ = сильно 2x больше или = 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно x больше или = 6 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$
Докажем, что $\frac{1}{2} меньше 2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 4 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$
$1 меньше 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 8 - 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно - 3 меньше - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 4 меньше 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 3 = сильно$ $1 меньше 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 8 - 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно$
$ = сильно - 3 меньше - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 4 меньше 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 3 = сильно$ $1 меньше 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 8 - 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно$
$ = сильно - 3 меньше - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 4 - 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 4 меньше 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 3 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 3 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента больше $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 8 меньше 9 \\[6pt] новая строка 2 больше 10 - 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 4 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 8 меньше 9 \\[6pt] новая строка 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента больше 12 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 8 меньше 9 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента больше 3 . \end{cases}$$$ $ = сильно $$\begin{cases} новая строка 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше 3 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента больше $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 8 меньше 9 \\[6pt] новая строка 2 больше 10 - 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 4 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 8 меньше 9 \\[6pt] новая строка 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента больше 12 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 8 меньше 9 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента больше 3 . \end{cases}$$$
Доказано. С учетом ограничений на x получим искомое решение $( $\frac{1}{2}$ ;2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ] \cup [ 6 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ; + бесконечность )$
Ответ: $( $\frac{1}{2}$ ;2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ] \cup [ 6 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ; + бесконечность )$
Правильный ответ:
$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 6 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66926 • Задание №11
Решите систему неравенств $система выражений новая строка 1 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроб...
ID 68910 • Задание №15
Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроб...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ. | 3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы. | 2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы.
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ. | 3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы. | 2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы.
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №12 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67011
Найдите точку максимума функции $y= корень из: начало аргумента: 4 минус 4x минус x в квадрате ...
ID 67012
Найдите точку минимума функции $y = корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 6x плюс 11 ...
ID 67013
Найдите наименьшее значение функции $y= корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 6x плюс...
ID 67014
Найдите наибольшее значение функции $y= корень из: начало аргумента: 5 минус 4x минус x в квадр...
ID 67015
Найдите точку максимума функции $y= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 плюс 2x мину...