Ограничения на x: $x меньше - 3,x больше или = - 1$

1.  Рассмотрим неравенство на множестве $[ - 1; + бесконечность )$ где $x + 3 больше 0$
На нем:

$( x + 3 ) ( x + 1 ) + 3 ( x + 3 ) \sqrt{аргумента: $\frac{x + 1}{x + 3}$} аргумента + 2 меньше или = 0$   $ = сильно$   $( x + 3 ) ( x + 1 ) + 3 \cdot \sqrt{аргумента: \frac{( x + 1 ) \cdot ( x + 3 )} аргумента ^2}{x + 3} + 2 меньше или = 0$   $ = сильно$   $ = сильно ( x + 3 ) ( x + 1 ) + 3 \cdot $\sqrt{аргумента: ( x + 1 ) ( x + 3 )}$ аргумента + 2 меньше или = 0$

Введем новую переменную.
Пусть $\sqrt{аргумента: ( x + 1 ) ( x + 3 )} аргумента =t,t больше или = 0$ тогда $t ^2 + 3t + 2 меньше или = 0 = сильно - 2 меньше или = t меньше или = - 1$
Мы получили неравенство $ - 2 меньше или = $\sqrt{аргумента: ( x + 1 ) ( x + 3 )}$ аргумента меньше или = - 1$ у которого решений нет.

2.  Рассмотрим теперь исходное неравенство на множестве $( - бесконечность ; - 3 )$ Там $x + 3 меньше 0$
Неравенство перепишем так:

$( x + 3 ) ( x + 1 ) - 3 \cdot ( - ( x + 3 ) ) \sqrt{аргумента: $\frac{x + 1}{x + 3}$} аргумента + 2 меньше или = 0$ И тогда $ - ( x + 3 ) больше 0$

появляется возможность внести его под корень четной степени. Далее:

$( x + 3 ) ( x + 1 ) - 3 \cdot \sqrt{аргумента: \frac{( x + 1 ) \cdot ( x + 3 )} аргумента ^2}{x + 3} + 2 меньше или = 0 = сильно ( x + 3 ) ( x + 1 ) - 3 \cdot $\sqrt{аргумента: ( x + 1 ) ( x + 3 )}$ аргумента + 2 меньше или = 0$ $( x + 3 ) ( x + 1 ) - 3 \cdot \sqrt{аргумента: \frac{( x + 1 ) \cdot ( x + 3 )} аргумента ^2}{x + 3} + 2 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( x + 3 ) ( x + 1 ) - 3 \cdot $\sqrt{аргумента: ( x + 1 ) ( x + 3 )}$ аргумента + 2 меньше или = 0$

Если $\sqrt{аргумента: ( x + 1 ) ( x + 3 )} аргумента =t$ $t больше или = 0$ то $t ^2 - 3t + 2 меньше или = 0$   $ = сильно$   $1 меньше или = t меньше или = 2$

Теперь решим неравенство $1 меньше или = $\sqrt{аргумента: ( x + 1 ) ( x + 3 )}$ аргумента меньше или = 2$ на множестве $( - бесконечность ; - 3 )$

а)  

$$$\begin{cases} новая строка x меньше - 3 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: ( x + 1 ) ( x + 3 )}$ аргумента больше или = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x меньше - 3 \\[6pt] новая строка x ^2 + 4x + 3 больше или = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x меньше - 3 \\[6pt] новая строка x ^2 + 4x + 2 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$

$ = сильно $$\begin{cases} x меньше - 3 \\[6pt] новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше или = - 2 - $\sqrt{аргумента: 4 - 2}$ аргумента \\[6pt] новая строка x больше или = - 2 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} новая строка x меньше - 3 \\[6pt] новая строка x меньше или = - 2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \end{cases}$$ . = сильно x меньше или = - 2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

б)  

$$$\begin{cases} новая строка x меньше - 3 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: ( x + 1 ) ( x + 3 )}$ аргумента меньше или = 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x меньше - 3 \\[6pt] новая строка 0 меньше или = x ^2 + 4x + 3 меньше или = 4 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x меньше - 3 \\[6pt] новая строка x ^2 + 4x - 1 меньше или = 0 \\[6pt] новая строка x ^2 + 4x + 3 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$ $$$\begin{cases} новая строка x меньше - 3 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: ( x + 1 ) ( x + 3 )}$ аргумента меньше или = 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x меньше - 3 \\[6pt] новая строка 0 меньше или = x ^2 + 4x + 3 меньше или = 4 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x меньше - 3 \\[6pt] новая строка x ^2 + 4x - 1 меньше или = 0 \\[6pt] новая строка x ^2 + 4x + 3 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$

$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x меньше - 3 \\[6pt] новая строка - 2 - $\sqrt{аргумента: 4 + 1}$ аргумента меньше или = x меньше или = - 2 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента \\[6pt] новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше или = - 3 \\[6pt] новая строка x больше или = - 1 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно - 2 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента меньше или = x меньше - 3$

Пересечем результаты, полученные в подпунктах а) и б). Искомым множеством будет числовой отрезок $[ - 2 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ; - 2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ]$

Ответ: $[ - 2 - $\sqrt{5}$ ; - 2 - $\sqrt{2}$ ]$