Найдем ограничения на x:

$3 - 3x ^2 больше или = 0 = сильно 1 - x ^2 больше или = 0 = сильно - 1 меньше или = x меньше или = 1$

Таким образом, переменная, находящаяся под знаком радикала, пробегает все значения из отрезка $[ - 1;1 ]$ Это позволяет сделать замену переменной $x= \sin t$ где $ - $\frac{\pi}{2}$ меньше или = t меньше или = \frac{\pi}{2}$ На этом множестве значений переменной t справедливо тождество

$\sqrt{аргумента: 3 - 3 \sin ^2 t} аргумента = $\sqrt{аргумента: 3 ( 1 - \sin ^2 t )}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 3 \cos ^2 t}$ аргумента = $\sqrt{3}$ | \cos t| = $\sqrt{3}$ \cos t$

откуда получаем:

$\sin ^2 t + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin t \cos t - 0,5 - \sin t больше или = 0 = сильно 2 \sin ^2 t + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin t \cdot \cos t - 1 - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 1 - \cos 2t + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin 2t - 1 - 2 \sin t больше или = 0 = сильно 2 ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin 2t - $\frac{1}{2}$ \cos 2t ) - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( \sin 2t \cdot \cos $\frac{\pi}{6}$ - \sin $\frac{\pi}{6}$ \cos 2t ) - \sin t больше или = 0 = сильно \sin ( 2t - $\frac{\pi}{6}$ ) - \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 \cos \frac{2t - $\frac{\pi}{6}$ + t,}{2} \sin \frac{2t - $\frac{\pi}{6}$ - t,}{2} больше или = 0 = сильно \cos ( $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) \sin ( $\frac{t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) больше или = 0$ $\sin ^2 t + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin t \cos t - 0,5 - \sin t больше или = 0 = сильно 2 \sin ^2 t + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin t \cdot \cos t - 1 - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 1 - \cos 2t + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin 2t - 1 - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin 2t - $\frac{1}{2}$ \cos 2t ) - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( \sin 2t \cdot \cos $\frac{\pi}{6}$ - \sin $\frac{\pi}{6}$ \cos 2t ) - \sin t больше или = 0 = сильно \sin ( 2t - $\frac{\pi}{6}$ ) - \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 \cos \frac{2t - $\frac{\pi}{6}$ + t,}{2} \sin \frac{2t - $\frac{\pi}{6}$ - t,}{2} больше или = 0 = сильно \cos ( $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) \sin ( $\frac{t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) больше или = 0$ $\sin ^2 t + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin t \cos t - 0,5 - \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 \sin ^2 t + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin t \cdot \cos t - 1 - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 1 - \cos 2t + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin 2t - 1 - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin 2t - $\frac{1}{2}$ \cos 2t ) - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( \sin 2t \cdot \cos $\frac{\pi}{6}$ - \sin $\frac{\pi}{6}$ \cos 2t ) - \sin t больше или = 0 = сильно \sin ( 2t - $\frac{\pi}{6}$ ) - \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 \cos \frac{2t - $\frac{\pi}{6}$ + t,}{2} \sin \frac{2t - $\frac{\pi}{6}$ - t,}{2} больше или = 0 = сильно \cos ( $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) \sin ( $\frac{t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) больше или = 0$ $\sin ^2 t + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin t \cos t - 0,5 - \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 \sin ^2 t + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin t \cdot \cos t - 1 - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 1 - \cos 2t + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin 2t - 1 - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin 2t - $\frac{1}{2}$ \cos 2t ) - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( \sin 2t \cdot \cos $\frac{\pi}{6}$ - \sin $\frac{\pi}{6}$ \cos 2t ) - \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \sin ( 2t - $\frac{\pi}{6}$ ) - \sin t больше или = 0 = сильно 2 \cos \frac{2t - $\frac{\pi}{6}$ + t,}{2} \sin \frac{2t - $\frac{\pi}{6}$ - t,}{2} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \cos ( $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) \sin ( $\frac{t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) больше или = 0$ $\sin ^2 t + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin t \cos t - 0,5 - \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 \sin ^2 t + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin t \cdot \cos t - 1 - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 1 - \cos 2t + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin 2t - 1 - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin 2t - $\frac{1}{2}$ \cos 2t ) - 2 \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( \sin 2t \cdot \cos $\frac{\pi}{6}$ - \sin $\frac{\pi}{6}$ \cos 2t ) - \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \sin ( 2t - $\frac{\pi}{6}$ ) - \sin t больше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 \cos \frac{2t - $\frac{\pi}{6}$ + t,}{2} \sin \frac{2t - $\frac{\pi}{6}$ - t,}{2} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \cos ( $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) \sin ( $\frac{t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) больше или = 0$

Будем рассматривать левую часть как функцию $f ( t )$ решим неравенство $f ( t ) больше или = 0$ методом интервалов на отрезке $[ - $\frac{\pi}{2}$ ; $\frac{\pi}{2}$ ]$ Для этого найдем нули функции на этом отрезке:

$\cos ( $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ = $\frac{\pi}{2}$ , новая строка $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ = - $\frac{\pi}{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка 18t - \pi =6 \pi , новая строка 18t - \pi = - 6 \pi \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка 18t=7 \pi , новая строка 18t= - 5 \pi \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка t= $\frac{7 \pi}{18}$ , новая строка t= - $\frac{5 \pi}{18}$ ; \end{array} \right.$ $\cos ( $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ = $\frac{\pi}{2}$ , новая строка $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ = - $\frac{\pi}{2}$ \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка 18t - \pi =6 \pi , новая строка 18t - \pi = - 6 \pi \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка 18t=7 \pi , новая строка 18t= - 5 \pi \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка t= $\frac{7 \pi}{18}$ , новая строка t= - $\frac{5 \pi}{18}$ ; \end{array} \right.$ $\cos ( $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ = $\frac{\pi}{2}$ , новая строка $\frac{3t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ = - $\frac{\pi}{2}$ \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка 18t - \pi =6 \pi , новая строка 18t - \pi = - 6 \pi \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка 18t=7 \pi , новая строка 18t= - 5 \pi \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка t= $\frac{7 \pi}{18}$ , новая строка t= - $\frac{5 \pi}{18}$ ; \end{array} \right.$

$\sin ( $\frac{t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) =0 = сильно $\frac{t}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ =0 = сильно t= \frac{\pi}{6}$

Найденные нули функции делят отрезок $[ - $\frac{\pi}{2}$ ; $\frac{\pi}{2}$ ]$ на промежутки знакопостоянства функции $f ( t )$ Возьмем пробную точку:

$f ( $\frac{\pi}{3}$ ) = \cos ( $\frac{3}{2}$ \cdot ( $\frac{\pi}{3}$ ) - $\frac{\pi}{12}$ ) \cdot \sin ( $\frac{1}{2}$ \cdot ( $\frac{\pi}{3}$ ) - $\frac{\pi}{12}$ ) =$
$= \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) \cdot \sin ( $\frac{\pi}{6}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) = \sin $\frac{\pi}{12}$ \cdot \sin $\frac{\pi}{12}$ больше 0$ $f ( $\frac{\pi}{3}$ ) =$
$= \cos ( $\frac{3}{2}$ \cdot ( $\frac{\pi}{3}$ ) - $\frac{\pi}{12}$ ) \cdot \sin ( $\frac{1}{2}$ \cdot ( $\frac{\pi}{3}$ ) - $\frac{\pi}{12}$ ) =$
$= \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) \cdot \sin ( $\frac{\pi}{6}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) = \sin $\frac{\pi}{12}$ \cdot \sin $\frac{\pi}{12}$ больше 0$

На остальных интервалах знаки определим используя принцип их поочередного чередования (см. рис.).
[рис.]
Таким образом, $f ( t ) больше или = 0$ на $[ - $\frac{\pi}{2}$ ; - $\frac{5 \pi}{18}$ ]$ и на $[ $\frac{\pi}{6}$ ; $\frac{7 \pi}{18}$ ]$
Поскольку $\sin ( - $\frac{\pi}{2}$ ) = - 1$ и $\sin $\frac{\pi}{6}$ = \frac{1}{2}$ заключаем, что $ - $\frac{\pi}{2}$ меньше или = x меньше или = - \sin \frac{5 \pi}{18}$ или $\frac{1}{2} меньше или = x меньше или = \sin $\frac{7 \pi}{18}$ ]$

Ответ: $[ - 1; - \sin $\frac{5 \pi}{18}$ ] \cup [ $\frac{1}{2}$ ; \sin $\frac{7 \pi}{18}$ ]$