Ограничения на x: $0 меньше x меньше 5,5;x не = 1;x не = 5$
На множестве допустимых значений x:

$\log _x ( 11x - 2x ^2 ) + \log _11 - 2xx в степени ( 4 ) меньше или = 5 = сильно \log _xx + \log _x ( 11 - 2x ) + $\frac{4}{\log _x ( 11 - 2x )}$ - 5 меньше или = 0$ $\log _x ( 11x - 2x ^2 ) + \log _11 - 2xx в степени ( 4 ) меньше или = 5 = сильно$
$ = сильно \log _xx + \log _x ( 11 - 2x ) + $\frac{4}{\log _x ( 11 - 2x )}$ - 5 меньше или = 0$
$ = сильно \log _x ( 11 - 2x ) + $\frac{4}{\log _x ( 11 - 2x )}$ - 4 меньше или = 0$

Введем новую переменную. Пусть $\log _x ( 11 - 2x ) =t$ Тогда:

$t + $\frac{4}{t}$ - 4 меньше или = 0$   $ = сильно$   $ = сильно $\frac{t ^2 - 4t + 4}{t}$ меньше или = 0$   $ = сильно$   $\frac{( t - 2 ) ^2}{t} меньше или = 0$   $ = сильно$   $\left[ \begin{array}{l} новая строка t=2 , новая строка t меньше 0 \end{array} \right.$

Перейдем к переменной x.

$\log _x ( 11 - 2x ) =2 = сильно 11 - 2x=x ^2 = сильно x ^2 + 2x - 11=0 = сильно x= - 1\pm $\sqrt{аргумента: 1 + 11}$ аргумента = сильно x= - 1\pm 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ $\log _x ( 11 - 2x ) =2 = сильно 11 - 2x=x ^2 = сильно x ^2 + 2x - 11=0 = сильно$
$ = сильно x= - 1\pm $\sqrt{аргумента: 1 + 11}$ аргумента = сильно x= - 1\pm 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ $\log _x ( 11 - 2x ) =2 = сильно 11 - 2x=x ^2 = сильно$
$ = сильно x ^2 + 2x - 11=0 = сильно$
$ = сильно x= - 1\pm $\sqrt{аргумента: 1 + 11}$ аргумента = сильно x= - 1\pm 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

С учетом ограничений на x: $x=2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1$

$\log _x ( 11 - 2x ) меньше 0 = сильно \log _x ( 11 - 2x ) меньше \log _x1 ( x - 1 ) ( 11 - 2x - 1 ) меньше 0 = сильно ( x - 1 ) \cdot ( 2x - 10 ) больше 0$ $\log _x ( 11 - 2x ) меньше 0 = сильно \log _x ( 11 - 2x ) меньше \log _x1 ( x - 1 ) ( 11 - 2x - 1 ) меньше 0 = сильно$
$ = сильно ( x - 1 ) \cdot ( 2x - 10 ) больше 0$ $\log _x ( 11 - 2x ) меньше 0 = сильно$
$ = сильно \log _x ( 11 - 2x ) меньше \log _x1 ( x - 1 ) ( 11 - 2x - 1 ) меньше 0 = сильно$
$ = сильно ( x - 1 ) \cdot ( 2x - 10 ) больше 0$
$ = сильно ( x - 1 ) \cdot ( x - 5 ) больше 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше 1 , новая строка x больше 5 . \end{array} \right.$

С учетом ограничений на x:

$\left[ \begin{array}{l} новая строка 0 меньше x меньше 1 , новая строка 5 меньше x меньше 5,5 . \end{array} \right.$

Ответ: $( 0;1 ) \cup ( 5;5,5 ) \cup \{ 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1 \}$