Перейдем к основанию $3$ Получим

$\frac{ - 1}{\log_{3} ( 2 + x )} + \frac{1}{\log_{3} ( 2 - x )} меньше или = 0$

Сразу отметим, что $x принадлежит ( - 2;2 )$ $x не = \pm 1$

$\frac{\log_{3} ( 2 + x ) - \log_{3} ( 2 - x )}{\log_{3} ( 2 + x ) \log_{3} ( 2 - x )} меньше или = 0 = сильно \frac{\log_{3} ( 2 + x ) - \log_{3} ( 2 - x )}{( \log_{3} ( 2 + x ) - \log_{3} 1 ) ( \log_{3} ( 2 - x ) - \log_{3} 1 )} меньше или = 0$ $\frac{\log_{3} ( 2 + x ) - \log_{3} ( 2 - x )}{\log_{3} ( 2 + x ) \log_{3} ( 2 - x )} меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{3} ( 2 + x ) - \log_{3} ( 2 - x )}{( \log_{3} ( 2 + x ) - \log_{3} 1 ) ( \log_{3} ( 2 - x ) - \log_{3} 1 )} меньше или = 0$

Воспользуемся методом рационализации:

$\frac{( 2 + x ) - ( 2 - x )}{( 2 + x - 1 ) ( 2 - x - 1 )} меньше или = 0 = сильно $\frac{2x}{( 1 + x ) ( 1 - x )}$ меньше или = 0\Rightarrow x принадлежит ( - 1; 0 ] \cup ( 1; + бесконечность )$ $\frac{( 2 + x ) - ( 2 - x )}{( 2 + x - 1 ) ( 2 - x - 1 )} меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{2x}{( 1 + x ) ( 1 - x )}$ меньше или = 0\Rightarrow x принадлежит ( - 1; 0 ] \cup ( 1; + бесконечность )$

Учитывая ограничения, полученные ранее, получаем ответ $x принадлежит ( - 1; 0 ) \cup ( 1;2 )$

Ответ: $x принадлежит ( - 1; 0 ] \cup ( 1; 2 )$