Сразу отметим, что $x больше 0$ $x не = 1$ $2x + 3 больше 0$ $2x + 3 не = 1$ и $x + $\frac{1}{3}$ больше 0$ Из первых двух условий следуют все остальные, поэтому ОДЗ неравенства: $( 0;1 ) \cup ( 1; бесконечность )$ Преобразуем его теперь и рационализируем:

$\frac{\log_{2} ( x + $\frac{1}{3}$ ) ,}{\log_{2} x} меньше или = \frac{\log_{2} ( x + $\frac{1}{3}$ ) ,}{\log_{2} $\sqrt{аргумента: 2x + 3}$ аргумента} = сильно \frac{\log_{2} ( x + $\frac{1}{3}$ ) ,}{2 \log_{2} x} меньше или = \frac{\log_{2} ( x + $\frac{1}{3}$ ) ,}{2 \log_{2} $\sqrt{аргумента: 2x + 3}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{2} ( x + $\frac{1}{3}$ ) ,}{\log_{2} x ^2} меньше или = \frac{\log_{2} ( x + $\frac{1}{3}$ ) ,}{\log_{2} ( 2x + 3 )} = сильно \frac{\log_{2} ( x + $\frac{1}{3}$ ) ,}{\log_{2} x ^2} - \frac{\log_{2} ( x + $\frac{1}{3}$ ) ,}{\log_{2} ( 2x + 3 )} меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{2} ( x + $\frac{1}{3}$ ) \log_{2} ( 2x + 3 ) - \log_{2} ( x + $\frac{1}{3}$ ) \log_{2} x ^2 ,}{\log_{2} x ^2 \log_{2} ( 2x + 3 )} меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{2} ( x + $\frac{1}{3}$ ) ( \log_{2} ( 2x + 3 ) - \log_{2} x ^2 ) ,}{\log_{2} x ^2 \log_{2} ( 2x + 3 )} меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{( \log_{2} ( x + $\frac{1}{3}$ ) - \log_{2} 1 ) ( \log_{2} ( 2x + 3 ) - \log_{2} x ^2 ) ,}{( \log_{2} x ^2 - \log_{2} 1 ) ( \log_{2} ( 2x + 3 ) - \log_{2} 1 )} меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{( x + $\frac{1}{3}$ - 1 ) ( 2x + 3 - x ^2 ) ,}{( x ^2 - 1 ) ( 2x + 3 - 1 )} меньше или = 0 = сильно \frac{( x - $\frac{2}{3}$ ) ( x ^2 - 2x - 3 ) ,}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( 2x + 2 )} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{( x - $\frac{2}{3}$ ) ( x + 1 ) ( x - 3 ) ,}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( 2x + 2 )} больше или = 0$

Удалим все множители, принимающие только положительные значения на ОДЗ:

$\frac{( x - $\frac{2}{3}$ ) ( x - 3 ) ,}{( x - 1 )} больше или = 0 = сильно x принадлежит [ $\frac{2}{3}$ ;1 ) \cup [ 3; бесконечность )$

Ответ: $x принадлежит [ $\frac{2}{3}$ ;1 ) \cup [ 3; бесконечность )$