а) Решите уравнение $\cos ^2 3x + \cos ^2 4x + \cos ^2 5x= \frac{3}{2}$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ $\frac{\pi}{2}$ ; \pi ]$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ $\frac{\pi}{2}$ ; \pi ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] a) Используем формулы понижения порядка:
$\cos ^2 3x + \cos ^2 4x + \cos ^2 5x= $\frac{3}{2}$ = сильно $\frac{1 + \cos 6x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 8x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 10x}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно 3 + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x=3 = сильно \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x= \cos 8x + 2 \cos 8x \cos 2x=0 = сильно$
$ = сильно \cos 8x ( 1 + 2 \cos 2x ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 8x=0, \cos 2x= - $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 8x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k,2x=\pm $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{8}$ ,x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi k,k принадлежит Z . \end{array} \right.$ $\cos ^2 3x + \cos ^2 4x + \cos ^2 5x= $\frac{3}{2}$ = сильно $\frac{1 + \cos 6x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 8x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 10x}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно 3 + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x=3 = сильно$
$ = сильно \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x= \cos 8x + 2 \cos 8x \cos 2x=0 = сильно \cos 8x ( 1 + 2 \cos 2x ) =0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 8x=0, \cos 2x= - $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 8x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k,2x=\pm $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{8}$ ,x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi k,k принадлежит Z . \end{array} \right.$ $\cos ^2 3x + \cos ^2 4x + \cos ^2 5x= $\frac{3}{2}$ = сильно $\frac{1 + \cos 6x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 8x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 10x}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно 3 + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x=3 = сильно$
$ = сильно \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x= \cos 8x + 2 \cos 8x \cos 2x=0 = сильно$
$ = сильно \cos 8x ( 1 + 2 \cos 2x ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 8x=0, \cos 2x= - $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 8x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k,2x=\pm $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{8}$ ,x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi k,k принадлежит Z . \end{array} \right.$ $\cos ^2 3x + \cos ^2 4x + \cos ^2 5x= $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно $\frac{1 + \cos 6x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 8x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 10x}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно 3 + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x=3 = сильно$
$ = сильно \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x= \cos 8x + 2 \cos 8x \cos 2x=0 = сильно$
$ = сильно \cos 8x ( 1 + 2 \cos 2x ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 8x=0, \cos 2x= - $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 8x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k,2x=\pm $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{8}$ ,x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi k,k принадлежит Z . \end{array} \right.$
б) Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходят $\frac{9 \pi}{16}$ $\frac{2 \pi}{3}$ $\frac{11 \pi}{16}$ $\frac{13 \pi}{16}$ $\frac{15 \pi}{16}$
Ответ: а) $\{ \pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi k; $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{8}$ :k принадлежит Z \}$ б) $\frac{9 \pi}{16}$ $\frac{2 \pi}{3}$ $\frac{11 \pi}{16}$ $\frac{13 \pi}{16}$ $\frac{15 \pi}{16}$
Приведем другое решение пункта а).
а) Преобразуем уравнение:
$\cos ^2 3x + \cos ^2 4x + \cos ^2 5x= $\frac{3}{2}$ = сильно \cos ^2 ( 4x - x ) + \cos ^2 4x + \cos ^2 ( 4x + x ) = $\frac{3}{2}$ = сильно$ $\cos ^2 3x + \cos ^2 4x + \cos ^2 5x= $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно \cos ^2 ( 4x - x ) + \cos ^2 4x + \cos ^2 ( 4x + x ) = $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно ( \cos 4x \cos x + \sin 4x \sin x ) ^2 + \cos ^2 4x + ( \cos 4x \cos x - \sin 4x \sin x ) ^2 = $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно 2 \cos ^2 4x \cos ^2 x + 2 \sin ^2 4x \sin ^2 x + \cos ^2 4x= $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 4x \cos ^2 x + 4 ( 1 - \cos ^2 4x ) ( 1 - \cos ^2 x ) + 2 \cos ^2 4x - 3=0 = сильно$
$ = сильно 8 \cos ^2 4x \cos ^2 x - 4 \cos ^2 x - 2 \cos ^2 4x + 1=0 = сильно$
$ = сильно ( 4 \cos ^2 x - 1 ) ( 2 \cos ^2 4x - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} 4 \cos ^2 x - 1=0,2 \cos ^2 4x - 1=0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos ^2 x= $\frac{1}{4}$ , \cos ^2 4x= $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos x=\pm $\frac{1}{2}$ , \cos 4x=\pm \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi k,x= $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{8}$ , \end{array} \right. . k принадлежит Z$
$\cos ^2 3x + \cos ^2 4x + \cos ^2 5x= $\frac{3}{2}$ = сильно $\frac{1 + \cos 6x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 8x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 10x}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно 3 + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x=3 = сильно \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x= \cos 8x + 2 \cos 8x \cos 2x=0 = сильно$
$ = сильно \cos 8x ( 1 + 2 \cos 2x ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 8x=0, \cos 2x= - $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 8x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k,2x=\pm $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{8}$ ,x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi k,k принадлежит Z . \end{array} \right.$ $\cos ^2 3x + \cos ^2 4x + \cos ^2 5x= $\frac{3}{2}$ = сильно $\frac{1 + \cos 6x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 8x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 10x}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно 3 + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x=3 = сильно$
$ = сильно \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x= \cos 8x + 2 \cos 8x \cos 2x=0 = сильно \cos 8x ( 1 + 2 \cos 2x ) =0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 8x=0, \cos 2x= - $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 8x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k,2x=\pm $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{8}$ ,x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi k,k принадлежит Z . \end{array} \right.$ $\cos ^2 3x + \cos ^2 4x + \cos ^2 5x= $\frac{3}{2}$ = сильно $\frac{1 + \cos 6x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 8x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 10x}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно 3 + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x=3 = сильно$
$ = сильно \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x= \cos 8x + 2 \cos 8x \cos 2x=0 = сильно$
$ = сильно \cos 8x ( 1 + 2 \cos 2x ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 8x=0, \cos 2x= - $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 8x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k,2x=\pm $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{8}$ ,x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi k,k принадлежит Z . \end{array} \right.$ $\cos ^2 3x + \cos ^2 4x + \cos ^2 5x= $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно $\frac{1 + \cos 6x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 8x}{2}$ + $\frac{1 + \cos 10x}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно 3 + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x=3 = сильно$
$ = сильно \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x= \cos 8x + 2 \cos 8x \cos 2x=0 = сильно$
$ = сильно \cos 8x ( 1 + 2 \cos 2x ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 8x=0, \cos 2x= - $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 8x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k,2x=\pm $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{8}$ ,x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi k,k принадлежит Z . \end{array} \right.$
б) Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходят $\frac{9 \pi}{16}$ $\frac{2 \pi}{3}$ $\frac{11 \pi}{16}$ $\frac{13 \pi}{16}$ $\frac{15 \pi}{16}$
Ответ: а) $\{ \pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi k; $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{8}$ :k принадлежит Z \}$ б) $\frac{9 \pi}{16}$ $\frac{2 \pi}{3}$ $\frac{11 \pi}{16}$ $\frac{13 \pi}{16}$ $\frac{15 \pi}{16}$
Приведем другое решение пункта а).
а) Преобразуем уравнение:
$\cos ^2 3x + \cos ^2 4x + \cos ^2 5x= $\frac{3}{2}$ = сильно \cos ^2 ( 4x - x ) + \cos ^2 4x + \cos ^2 ( 4x + x ) = $\frac{3}{2}$ = сильно$ $\cos ^2 3x + \cos ^2 4x + \cos ^2 5x= $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно \cos ^2 ( 4x - x ) + \cos ^2 4x + \cos ^2 ( 4x + x ) = $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно ( \cos 4x \cos x + \sin 4x \sin x ) ^2 + \cos ^2 4x + ( \cos 4x \cos x - \sin 4x \sin x ) ^2 = $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно 2 \cos ^2 4x \cos ^2 x + 2 \sin ^2 4x \sin ^2 x + \cos ^2 4x= $\frac{3}{2}$ = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 4x \cos ^2 x + 4 ( 1 - \cos ^2 4x ) ( 1 - \cos ^2 x ) + 2 \cos ^2 4x - 3=0 = сильно$
$ = сильно 8 \cos ^2 4x \cos ^2 x - 4 \cos ^2 x - 2 \cos ^2 4x + 1=0 = сильно$
$ = сильно ( 4 \cos ^2 x - 1 ) ( 2 \cos ^2 4x - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} 4 \cos ^2 x - 1=0,2 \cos ^2 4x - 1=0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos ^2 x= $\frac{1}{4}$ , \cos ^2 4x= $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos x=\pm $\frac{1}{2}$ , \cos 4x=\pm \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi k,x= $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{8}$ , \end{array} \right. . k принадлежит Z$
Правильный ответ:
а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 8 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 16 конец дроби$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 16 конец дроби$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 16 конец дроби$ $дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 16 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64392 • Задание №1
[рис.] Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его...
ID 67798 • Задание №13
а) Решите уравнение $левая круглая скобка 32 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка п...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №13 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67377
а) Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель...
ID 67378
а) Решите уравнение: $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степе...
ID 67379
а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая ...
ID 67380
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круг...
ID 67381
а) Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: ...