а) Решите уравнение $\sqrt{аргумента: 1 - \cos ^2 ( $\frac{3 \pi}{2}$ + x )} аргумента = - \cos x + 8 \sin ( x - \pi )$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - $\frac{3 \pi}{2}$ ; 0 ]$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - $\frac{3 \pi}{2}$ ; 0 ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Преобразуем уравнение с помощью формул приведения и основного тригонометрического тождества:
$\sqrt{аргумента: 1 - \cos ^2 ( $\frac{3 \pi}{2}$ + x )} аргумента = - \cos x + 8 \sin ( x - \pi ) = сильно $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 x}$ аргумента = - \cos x - 8 \sin x = сильно$ $\sqrt{аргумента: 1 - \cos ^2 ( $\frac{3 \pi}{2}$ + x )} аргумента = - \cos x + 8 \sin ( x - \pi ) = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 x}$ аргумента = - \cos x - 8 \sin x = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: \cos ^2 x}$ аргумента = - \cos x - 8 \sin x = сильно | \cos x|= - \cos x - 8 \sin x = сильно$
[рис.]
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка $$\begin{cases} новая строка \cos x= - \cos x - 8 \sin x \\[6pt] новая строка \cos x больше 0 \end{cases}$$ . новая строка $$\begin{cases} новая строка \cos x= \cos x + 8 \sin x \\[6pt] новая строка \cos x меньше или = 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка $$\begin{cases} новая строка 4 \sin x= - \cos x \\[6pt] новая строка \cos x больше 0 \end{cases}$$ . новая строка $$\begin{cases} новая строка \sin x=0 \\[6pt] новая строка \cos x меньше или = 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка $$\begin{cases} новая строка \text{tg} x= - $\frac{1}{4}$ \\[6pt] новая строка \cos x больше 0 \end{cases}$$ . новая строка \cos x= - 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x= - \arctan $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k, новая строка x= \pi + 2 \pi k, \end{array} \right. .k принадлежит Z$
б) Отберём корни. принадлежащие отрезку. Для первой серии получаем:
$ - $\frac{3 \pi}{2}$ меньше или = - \arctan $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k\leqslant0 = сильно - $\frac{3 \pi}{2}$ + \arctan $\frac{1}{4}$ \leqslant2 \pi k меньше или = \arctan $\frac{1}{4}$ = сильно k = 0$ $ - $\frac{3 \pi}{2}$ меньше или = - \arctan $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k\leqslant0 = сильно$
$ = сильно - $\frac{3 \pi}{2}$ + \arctan $\frac{1}{4}$ \leqslant2 \pi k меньше или = \arctan $\frac{1}{4}$ = сильно k = 0$
откуда корень $ - \arctan \frac{1}{4}$ Для второй серии имеем:
$ - $\frac{3 \pi}{2}$ меньше или = \pi + 2 \pi k \leqslant0 = сильно - $\frac{5 \pi}{2}$ \leqslant2 \pi k\leqslant - \pi = сильно k = - 1$
откуда корень $ - \pi$
Ответ: а) $\{ - \arctan $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k, \pi + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \arctan $\frac{1}{4}$ , - \pi$
$\sqrt{аргумента: 1 - \cos ^2 ( $\frac{3 \pi}{2}$ + x )} аргумента = - \cos x + 8 \sin ( x - \pi ) = сильно $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 x}$ аргумента = - \cos x - 8 \sin x = сильно$ $\sqrt{аргумента: 1 - \cos ^2 ( $\frac{3 \pi}{2}$ + x )} аргумента = - \cos x + 8 \sin ( x - \pi ) = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 x}$ аргумента = - \cos x - 8 \sin x = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: \cos ^2 x}$ аргумента = - \cos x - 8 \sin x = сильно | \cos x|= - \cos x - 8 \sin x = сильно$
[рис.]
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка $$\begin{cases} новая строка \cos x= - \cos x - 8 \sin x \\[6pt] новая строка \cos x больше 0 \end{cases}$$ . новая строка $$\begin{cases} новая строка \cos x= \cos x + 8 \sin x \\[6pt] новая строка \cos x меньше или = 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка $$\begin{cases} новая строка 4 \sin x= - \cos x \\[6pt] новая строка \cos x больше 0 \end{cases}$$ . новая строка $$\begin{cases} новая строка \sin x=0 \\[6pt] новая строка \cos x меньше или = 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка $$\begin{cases} новая строка \text{tg} x= - $\frac{1}{4}$ \\[6pt] новая строка \cos x больше 0 \end{cases}$$ . новая строка \cos x= - 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x= - \arctan $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k, новая строка x= \pi + 2 \pi k, \end{array} \right. .k принадлежит Z$
б) Отберём корни. принадлежащие отрезку. Для первой серии получаем:
$ - $\frac{3 \pi}{2}$ меньше или = - \arctan $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k\leqslant0 = сильно - $\frac{3 \pi}{2}$ + \arctan $\frac{1}{4}$ \leqslant2 \pi k меньше или = \arctan $\frac{1}{4}$ = сильно k = 0$ $ - $\frac{3 \pi}{2}$ меньше или = - \arctan $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k\leqslant0 = сильно$
$ = сильно - $\frac{3 \pi}{2}$ + \arctan $\frac{1}{4}$ \leqslant2 \pi k меньше или = \arctan $\frac{1}{4}$ = сильно k = 0$
откуда корень $ - \arctan \frac{1}{4}$ Для второй серии имеем:
$ - $\frac{3 \pi}{2}$ меньше или = \pi + 2 \pi k \leqslant0 = сильно - $\frac{5 \pi}{2}$ \leqslant2 \pi k\leqslant - \pi = сильно k = - 1$
откуда корень $ - \pi$
Ответ: а) $\{ - \arctan $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k, \pi + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \arctan $\frac{1}{4}$ , - \pi$
Правильный ответ:
а) $левая фигурная скобка минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, Пи плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , минус Пи$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65653 • Задание №6
[рис.] В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, тангенс внешнего угла при вершине A равен $минус дробь: числитель...
ID 66069 • Задание №8
Дано уравнение $дробь: числитель: 2 минус 3 синус x минус косинус 2x, знаменатель: 6x в квадрате минус Пи x ми...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №13 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67377
а) Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель...
ID 67378
а) Решите уравнение: $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степе...
ID 67379
а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая ...
ID 67380
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круг...
ID 67381
а) Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: ...