Решите систему неравенств $$$\begin{cases} 4 в степени x - 2 в степени ( x + 1 ) - 3\geqslant0 \\[6pt] \log_{левая} круглая скобка 0 \\[6pt] 5 ) ( $\frac{x ^2}{x - 1}$ - 4 ) больше или = \frac{\log_{левая} круглая скобка 2 \\[6pt] 5 ) ( x ^2 - x $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента + 3 )}{\log_{левая} круглая скобка 0 \\[6pt] 4 ) ( 3 - 2 $\sqrt{аргумента: 3x ^2}$ аргумента + x ^2 )} \end{cases}$$$
💡 Пошаговый разбор и решение:
Заменой $2 в степени ( x ) =t больше 0$ первое неравенство системы приводится к виду $t ^2 - 2t - 3 больше или = 0$ Тогда $t меньше или = - 1$ что невозможно, или $t больше или = 3$ откуда $2 в степени ( x ) больше или = 3$ $x больше или = \log _23$ Заметим, что $\log _23 больше \log _22=1$ тем самым, $x больше 1$
Для $x больше 1$ упростим правую часть второго неравенства:
$\frac{\log _2,5 ( x ^2 - x $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента + 3 )}{\log _0,4 ( 3 - 2 $\sqrt{аргумента: 3x}$ аргумента ^2 + x ^2 )} = \frac{\log _2,5 ( x ^2 - 2x $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 3 )}{\log _0,4 ( x ^2 - 2|x| $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 3 )} \undersetx больше 1\mathop= \frac{ - \log _0,4}{( x - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2} \log _0,4 ( x - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 = - 1$ $\frac{\log _2,5 ( x ^2 - x $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента + 3 )}{\log _0,4 ( 3 - 2 $\sqrt{аргумента: 3x}$ аргумента ^2 + x ^2 )} =$
$= \frac{\log _2,5 ( x ^2 - 2x $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 3 )}{\log _0,4 ( x ^2 - 2|x| $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 3 )} \undersetx больше 1\mathop= \frac{ - \log _0,4}{( x - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2} \log _0,4 ( x - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 = - 1$
Выполненные преобразования справедливы при условиях $( x - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 больше 0$ $( x - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 не = 1$
Таким образом, при $x больше или = \log _23,x не = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ,x не = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \pm 1$ имеем:
$\log _0,5 ( $\frac{x ^2}{x - 1}$ - 4 ) больше или = - 1 = сильно \log _0,5 ( $\frac{x ^2 - 4x + 4}{x - 1}$ ) больше или = \log _0,52 = сильно 0 меньше $\frac{( x - 2 ) ^2}{x - 1}$ \leqslant2 = сильно$ $\log _0,5 ( $\frac{x ^2}{x - 1}$ - 4 ) больше или = - 1 = сильно$
$ = сильно \log _0,5 ( $\frac{x ^2 - 4x + 4}{x - 1}$ ) больше или = \log _0,52 = сильно 0 меньше $\frac{( x - 2 ) ^2}{x - 1}$ \leqslant2 = сильно$ $\log _0,5 ( $\frac{x ^2}{x - 1}$ - 4 ) больше или = - 1 = сильно$
$ = сильно \log _0,5 ( $\frac{x ^2 - 4x + 4}{x - 1}$ ) больше или = \log _0,52 = сильно$
$ = сильно 0 меньше $\frac{( x - 2 ) ^2}{x - 1}$ \leqslant2 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка ( x - 2 ) ^2 больше 0 \\[6pt] новая строка x ^2 - 4x + 4 меньше или = 2 ( x - 1 ) \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x не = 2 \\[6pt] новая строка x ^2 - 6x + 6 меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x не = 2 \\[6pt] новая строка 3 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента меньше или = x меньше или = 3 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента . \end{cases}$$$ $ = сильно $$\begin{cases} новая строка ( x - 2 ) ^2 больше 0 \\[6pt] новая строка x ^2 - 4x + 4 меньше или = 2 ( x - 1 ) \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x не = 2 \\[6pt] новая строка x ^2 - 6x + 6 меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x не = 2 \\[6pt] новая строка 3 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента меньше или = x меньше или = 3 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента . \end{cases}$$$
Заметим, что $\log _23 больше \log _22 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента =1,5 больше 3 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ С другой стороны, $3\log _23=\log _227 меньше \log _232=5$ а $3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 27}$ аргумента больше 5$ откуда $\log _23 меньше $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Таким образом, $\sqrt{аргумента: 3} аргумента - 1 меньше 3 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента меньше \log _23 меньше $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента меньше 2 меньше $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1$ и, следовательно, множеством решений данной системы неравенств является множество $[ \log _23; $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ;2 ) \cup ( 2; $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1 ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1; $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 3 ]$
Ответ: $[ \log _23; $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ;2 ) \cup ( 2; $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1 ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1; $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 3 ]$
Для $x больше 1$ упростим правую часть второго неравенства:
$\frac{\log _2,5 ( x ^2 - x $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента + 3 )}{\log _0,4 ( 3 - 2 $\sqrt{аргумента: 3x}$ аргумента ^2 + x ^2 )} = \frac{\log _2,5 ( x ^2 - 2x $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 3 )}{\log _0,4 ( x ^2 - 2|x| $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 3 )} \undersetx больше 1\mathop= \frac{ - \log _0,4}{( x - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2} \log _0,4 ( x - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 = - 1$ $\frac{\log _2,5 ( x ^2 - x $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента + 3 )}{\log _0,4 ( 3 - 2 $\sqrt{аргумента: 3x}$ аргумента ^2 + x ^2 )} =$
$= \frac{\log _2,5 ( x ^2 - 2x $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 3 )}{\log _0,4 ( x ^2 - 2|x| $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 3 )} \undersetx больше 1\mathop= \frac{ - \log _0,4}{( x - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2} \log _0,4 ( x - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 = - 1$
Выполненные преобразования справедливы при условиях $( x - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 больше 0$ $( x - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 не = 1$
Таким образом, при $x больше или = \log _23,x не = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ,x не = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \pm 1$ имеем:
$\log _0,5 ( $\frac{x ^2}{x - 1}$ - 4 ) больше или = - 1 = сильно \log _0,5 ( $\frac{x ^2 - 4x + 4}{x - 1}$ ) больше или = \log _0,52 = сильно 0 меньше $\frac{( x - 2 ) ^2}{x - 1}$ \leqslant2 = сильно$ $\log _0,5 ( $\frac{x ^2}{x - 1}$ - 4 ) больше или = - 1 = сильно$
$ = сильно \log _0,5 ( $\frac{x ^2 - 4x + 4}{x - 1}$ ) больше или = \log _0,52 = сильно 0 меньше $\frac{( x - 2 ) ^2}{x - 1}$ \leqslant2 = сильно$ $\log _0,5 ( $\frac{x ^2}{x - 1}$ - 4 ) больше или = - 1 = сильно$
$ = сильно \log _0,5 ( $\frac{x ^2 - 4x + 4}{x - 1}$ ) больше или = \log _0,52 = сильно$
$ = сильно 0 меньше $\frac{( x - 2 ) ^2}{x - 1}$ \leqslant2 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка ( x - 2 ) ^2 больше 0 \\[6pt] новая строка x ^2 - 4x + 4 меньше или = 2 ( x - 1 ) \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x не = 2 \\[6pt] новая строка x ^2 - 6x + 6 меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x не = 2 \\[6pt] новая строка 3 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента меньше или = x меньше или = 3 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента . \end{cases}$$$ $ = сильно $$\begin{cases} новая строка ( x - 2 ) ^2 больше 0 \\[6pt] новая строка x ^2 - 4x + 4 меньше или = 2 ( x - 1 ) \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x не = 2 \\[6pt] новая строка x ^2 - 6x + 6 меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x не = 2 \\[6pt] новая строка 3 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента меньше или = x меньше или = 3 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента . \end{cases}$$$
Заметим, что $\log _23 больше \log _22 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента =1,5 больше 3 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ С другой стороны, $3\log _23=\log _227 меньше \log _232=5$ а $3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 27}$ аргумента больше 5$ откуда $\log _23 меньше $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Таким образом, $\sqrt{аргумента: 3} аргумента - 1 меньше 3 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента меньше \log _23 меньше $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента меньше 2 меньше $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1$ и, следовательно, множеством решений данной системы неравенств является множество $[ \log _23; $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ;2 ) \cup ( 2; $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1 ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1; $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 3 ]$
Ответ: $[ \log _23; $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ;2 ) \cup ( 2; $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1 ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1; $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 3 ]$
Правильный ответ:
$левая квадратная скобка \log _23; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 3 правая квадратная скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69966 • Задание №16
Боря положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Рома такую же сумму положил ...
ID 66556 • Задание №10
В прямоугольном параллелепипеде ABCD1B1C1D1 известно, что AB = 8, BC = 6, косинус угла между прямыми ВD и ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ. | 2
Допущена единичная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ. | 2
Допущена единичная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №13 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67377
а) Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель...
ID 67378
а) Решите уравнение: $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степе...
ID 67379
а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая ...
ID 67380
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круг...
ID 67381
а) Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: ...