Пусть $t= \sqrt{аргумента: \log_{9} ( 3x ^2 - 4x + 2 )} аргумента больше или = 0$ тогда $\log _3 ( 3x ^2 - 4x + 2 ) = 2t ^2$ Имеем:

$t + 1 больше 2t ^2 = сильно 2t ^2 - t - 1 меньше 0 = сильно - $\frac{1}{2}$ меньше t меньше 1 \undersett больше или = 0\mathop = сильно 0 меньше или = t меньше 1$

Вернёмся к исходной переменной:

$0 меньше или = \sqrt{аргумента: \log_{9} ( 3x ^2 - 4x + 2 )} аргумента меньше 1 = сильно 0 меньше или = \log_{9} ( 3x ^2 - 4x + 2 ) меньше 1 = сильно$
$ = сильно 1 меньше или = 3x ^2 - 4x + 2 меньше 9 = сильно $$\begin{cases} новая строка 3x ^2 - 4x + 2 больше или = 1 \\[6pt] новая строка 3x ^2 - 4x + 2 меньше 9 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 3x ^2 - 4x + 1 больше или = 0 \\[6pt] новая строка 3x ^2 - 4x - 7 меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно$ $ = сильно 1 меньше или = 3x ^2 - 4x + 2 меньше 9 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 3x ^2 - 4x + 2 больше или = 1 \\[6pt] новая строка 3x ^2 - 4x + 2 меньше 9 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 3x ^2 - 4x + 1 больше или = 0 \\[6pt] новая строка 3x ^2 - 4x - 7 меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно$

$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{2 - $\sqrt{аргумента: 4 - 3}$ аргумента}{3} \\[6pt] x больше или = $\frac{2 + 1}{3}$ \end{cases}$$ . новая строка \frac{2 - $\sqrt{аргумента: 4 + 21}$ аргумента}{3} меньше x меньше $\frac{2 + 5}{3}$ \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x меньше или = $\frac{1}{3}$ \\[6pt] x больше или = 1 \end{cases}$$ . новая строка - 1 меньше x меньше $\frac{7}{3}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка - 1 меньше x меньше или = $\frac{1}{3}$ , новая строка 1 меньше или = x меньше $\frac{7}{3}$ . \end{array} \right.$

Итак, найдено множество решений второго неравенства: $( - 1; $\frac{1}{3}$ ] \cup [ 1; $\frac{7}{3}$ )$

Теперь решим первое неравенство системы. Найдем ограничения на $x:$

$$$\begin{cases} новая строка x ^2 \cdot ( 10 - x ^2 ) больше или = 0 \\[6pt] новая строка x не = 0 \end{cases}$$ = сильно . $$\begin{cases} новая строка ( x - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ) \cdot ( x + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ) меньше или = 0 \\[6pt] новая строка x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента меньше или = x меньше 0, новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} новая строка x ^2 \cdot ( 10 - x ^2 ) больше или = 0 \\[6pt] новая строка x не = 0 \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно . $$\begin{cases} новая строка ( x - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ) \cdot ( x + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ) меньше или = 0 \\[6pt] новая строка x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента меньше или = x меньше 0, новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента . \end{array} \right.$

Рассмотрим первое неравенство с учетом полученных ограничений:

$$$\begin{cases} новая строка - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента меньше или = x меньше 0 \\[6pt] новая строка - x $\sqrt{аргумента: 10 - x}$ аргумента ^2 меньше или = 2x ^2 + 5x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента меньше или = x меньше 0 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: 10 - x}$ аргумента ^2 больше или = - 2x - 5. \end{cases}$$$

Заметим, что второе неравенство, а вместе с ним и вся полученная система выполнены, если $ - 2x - 5 меньше 0$ то есть при $x больше - \frac{5}{2}$ Тогда решениями системы является интервал $ - $\frac{5}{2}$ меньше x меньше 0$ Случай $ - 2x - 5 больше или = 0$ не лежит во множестве решений первого неравенства. Далее,

$$$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка x $\sqrt{аргумента: 10 - x}$ аргумента ^2 меньше или = 2x ^2 + 5x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: 10 - x}$ аргумента ^2 меньше или = 2x + 5 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка 10 - x ^2 меньше или = 4x ^2 + 20x + 25 \end{cases}$$ . = сильно$ $$$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка x $\sqrt{аргумента: 10 - x}$ аргумента ^2 меньше или = 2x ^2 + 5x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: 10 - x}$ аргумента ^2 меньше или = 2x + 5 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка 10 - x ^2 меньше или = 4x ^2 + 20x + 25 \end{cases}$$ . = сильно$

$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка 5x ^2 + 20x + 15 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка x ^2 + 4x + 3 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка \left[ \begin{array}{l} x меньше или = - 3 \\[6pt] x больше или = - 1 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$ $ = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка 5x ^2 + 20x + 15 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка x ^2 + 4x + 3 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] новая строка \left[ \begin{array}{l} x меньше или = - 3 \\[6pt] x больше или = - 1 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$

Таким образом, найдено множество решений первого неравенства системы: $[ - $\frac{5}{2}$ ;0 ) \cup ( 0; $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ]$
Пересечением решений обоих неравенств будет множество $( - 1;0 ) \cup ( 0; $\frac{1}{3}$ ] \cup [ 1; $\frac{7}{3}$ )$

Ответ: $( - 1;0 ) \cup ( 0; $\frac{1}{3}$ ] \cup [ 1; $\frac{7}{3}$ )$