Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.
а) Докажите, что угол BA1C1 больше угла BAC.
б) Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 = 5, а расстояние между боковыми ребрами AA1 и CC1 = 8. Найдите расстояние от прямой AA1 до плоскости BC1C.
а) Докажите, что угол BA1C1 больше угла BAC.
б) Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 = 5, а расстояние между боковыми ребрами AA1 и CC1 = 8. Найдите расстояние от прямой AA1 до плоскости BC1C.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Заметим, что угол BAC ― линейный угол двугранного угла при ребре AA1. Тогда по теореме \cos ов
$BC ^2 = AB ^2 + AC ^2 - AB \cdot AC$
Пусть высота призмы равна h. Тогда из теоремы \cos ов
$\cos BA_1C_1 = $\frac{BA_1 ^2 + A_1C_1 ^2 - BC_1 ^2}{2BA_1 \cdot A_1C_1}$ = \frac{AB ^2 + h ^2 + AC ^2 - BC ^2 - h ^2}{2 $\sqrt{аргумента: AB ^2 + h ^2}$ аргумента A_1C_1} =$
$= \frac{AB \cdot AC}{2 $\sqrt{аргумента: AB ^2 + h ^2}$ аргумента \cdot A_1C_1} = \frac{AB}{2 $\sqrt{аргумента: AB ^2 + h ^2}$ аргумента} меньше \frac{1}{2}$ $\cos BA_1C_1 = $\frac{BA_1 ^2 + A_1C_1 ^2 - BC_1 ^2}{2BA_1 \cdot A_1C_1}$ =$
$= \frac{AB ^2 + h ^2 + AC ^2 - BC ^2 - h ^2}{2 $\sqrt{аргумента: AB ^2 + h ^2}$ аргумента A_1C_1} =$
$= \frac{AB \cdot AC}{2 $\sqrt{аргумента: AB ^2 + h ^2}$ аргумента \cdot A_1C_1} = \frac{AB}{2 $\sqrt{аргумента: AB ^2 + h ^2}$ аргумента} меньше \frac{1}{2}$
Поэтому угол BA1C1 больше угла BAC, что и требовалось доказать.
б) ABCA1B1C1 ― прямая призма, ее боковые грани ― прямоугольники, поэтому расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 = AB, а расстояние между боковыми ребрами AA1 и СС1 = AC. Таким образом, AB = 5, AC = 8 и $\angle BAC = 60 в степени ( \circ )$
Пусть отрезок AH ― высота треугольника ABC (см. рис.). Высота AH перпендикулярна стороне BC, а высота AH перпендикулярна ребру BB1, поэтому высота AH перпендикулярна плоскости (BC1C), и, значит, длина отрезка AH и есть искомое расстояние от прямой AA1 до параллельной ей плоскости BC1C.
Рассматривая треугольник ABC, находим:
$BC = $\sqrt{аргумента: AB ^2 + AC ^2 - 2 AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0,5}$ аргумента = 7$ $BC = $\sqrt{аргумента: AB ^2 + AC ^2 - 2 AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC}$ аргумента =$
$= $\sqrt{аргумента: 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0,5}$ аргумента = 7$
Тогда
$2S_\Delta ABC = AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = 5 \cdot 8 \cdot \sin 60 ^{\circ} = 20 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Таким образом, расстояние от прямой AA1 до плоскости BC1C =
$AH = $\frac{2S_\Delta ABC}{BC}$ = \frac{20 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{7}$
Ответ: б) $\frac{20 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{7}$
$BC ^2 = AB ^2 + AC ^2 - AB \cdot AC$
Пусть высота призмы равна h. Тогда из теоремы \cos ов
$\cos BA_1C_1 = $\frac{BA_1 ^2 + A_1C_1 ^2 - BC_1 ^2}{2BA_1 \cdot A_1C_1}$ = \frac{AB ^2 + h ^2 + AC ^2 - BC ^2 - h ^2}{2 $\sqrt{аргумента: AB ^2 + h ^2}$ аргумента A_1C_1} =$
$= \frac{AB \cdot AC}{2 $\sqrt{аргумента: AB ^2 + h ^2}$ аргумента \cdot A_1C_1} = \frac{AB}{2 $\sqrt{аргумента: AB ^2 + h ^2}$ аргумента} меньше \frac{1}{2}$ $\cos BA_1C_1 = $\frac{BA_1 ^2 + A_1C_1 ^2 - BC_1 ^2}{2BA_1 \cdot A_1C_1}$ =$
$= \frac{AB ^2 + h ^2 + AC ^2 - BC ^2 - h ^2}{2 $\sqrt{аргумента: AB ^2 + h ^2}$ аргумента A_1C_1} =$
$= \frac{AB \cdot AC}{2 $\sqrt{аргумента: AB ^2 + h ^2}$ аргумента \cdot A_1C_1} = \frac{AB}{2 $\sqrt{аргумента: AB ^2 + h ^2}$ аргумента} меньше \frac{1}{2}$
Поэтому угол BA1C1 больше угла BAC, что и требовалось доказать.
б) ABCA1B1C1 ― прямая призма, ее боковые грани ― прямоугольники, поэтому расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 = AB, а расстояние между боковыми ребрами AA1 и СС1 = AC. Таким образом, AB = 5, AC = 8 и $\angle BAC = 60 в степени ( \circ )$
Пусть отрезок AH ― высота треугольника ABC (см. рис.). Высота AH перпендикулярна стороне BC, а высота AH перпендикулярна ребру BB1, поэтому высота AH перпендикулярна плоскости (BC1C), и, значит, длина отрезка AH и есть искомое расстояние от прямой AA1 до параллельной ей плоскости BC1C.
Рассматривая треугольник ABC, находим:
$BC = $\sqrt{аргумента: AB ^2 + AC ^2 - 2 AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0,5}$ аргумента = 7$ $BC = $\sqrt{аргумента: AB ^2 + AC ^2 - 2 AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC}$ аргумента =$
$= $\sqrt{аргумента: 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0,5}$ аргумента = 7$
Тогда
$2S_\Delta ABC = AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = 5 \cdot 8 \cdot \sin 60 ^{\circ} = 20 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Таким образом, расстояние от прямой AA1 до плоскости BC1C =
$AH = $\frac{2S_\Delta ABC}{BC}$ = \frac{20 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{7}$
Ответ: б) $\frac{20 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{7}$
Правильный ответ:
б) $дробь: числитель: 20 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67031 • Задание №12
Найдите точку максимума функции $y=x в кубе минус 3x в квадрате плюс 2$...
ID 67075 • Задание №12
Найдите наибольшее значение функции $y=x в кубе минус 6,5x в квадрате плюс 14x минус 14$ на отрезке $левая ква...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №14 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67920
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна $2 корень из 3$ а высота...
ID 67921
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что расстояние между...
ID 67922
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым ...
ID 67923
Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расс...
ID 67924
В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ―...