[рис.] а)  Заметим, что B1C1 ⊥ C1A1 как катеты прямоугольного треугольника и B1C1 ⊥ C1C, поскольку призма прямая. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $B_1C_1 \perp ( ACA_1 )$ Кроме того, $A_1C \perp C_1A$ как диагонали квадрата. Далее, AB1  — наклонная, AC1  — ее проекция на плоскость ACA1, $A_1C$   — прямая в плоскости $ACA_1$ перпендикулярная проекции. По теореме о трёх перпендикулярах $AB_1 \perp CA_1$ что и требовалось доказать.

б)  Пусть точка M  — середина AC1. Тогда искомое расстояние = расстоянию от точки M до прямой AB1, поскольку прямая A1C перпендикулярна плоскости AB1C1. Это расстояние = половине высоты прямоугольного треугольника AB1C1, проведённой к гипотенузе, то есть

$d= $\frac{AC_1 \cdot B_1C_1}{2AB_1}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента AC \cdot BC}{2 $\sqrt{аргумента: 2AC ^2 + BC ^2}$ аргумента} = \frac{14 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{9}$

Ответ: б) $\frac{14 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{9}$

Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
[рис.]
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке С, как показано на рисунке. Пусть AC  =  a  =  AA1 и BC  =  b. Имеем:

$A ( 0; a; 0 )$
$A_1 ( 0; a; a )$
$B_1 ( b; 0; a )$

$\overrightarrowCA_1 ( 0; a; a )$
$\overrightarrowAB_1 ( b; - a; a )$

Скалярное произведение векторов CA1 и AB1 =

$\overrightarrowCA_1 \cdot \overrightarrowAB_1=0 \cdot b - a \cdot a + a \cdot a = 0$

следовательно, прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.

б)  Поскольку a  =  AC  =  4 и b  =  BC  =  7, имеем:

$A ( 0; 4; 0 )$
$A_1 ( 0;4;4 )$
$B_1 ( 7; 0; 4 )$

Рассмотрим плоскость α, проходящую через AB1 и параллельную A1C. Вектор $\overrightarrowCA_1$ параллелен плоскости α, а значит, перпендикулярен нормали к ней. Пусть вектор нормали имеет координаты $\vecn = ( A, B, C )$ тогда $\overrightarrowCA_1 \cdot \vecn = 4B + 4C = 0$ откуда $B = - C$ Подставим координаты точек A и B1 в уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D=0$ получим систему уравнений:

$$$\begin{cases} B = - C \\[6pt] 4B + D = 0 \\[6pt] 7A + 4C + D = 0. \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} B = - C \\[6pt] D = 4C \\[6pt] 7A + 4C + 4C = 0. \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} B = - C \\[6pt] D = 4C \\[6pt] A = - $\frac{8}{7}$ C. \end{cases}$$$

Находим уравнение плоскости α:

$ - $\frac{8}{7}$ Cx - Cy + Cz + 4C = 0 \undersetC не = 0 \mathop = сильно $\frac{8}{7}$ x + y - z - 4 = 0 = сильно 8x + 7y - 7z - 28 = 0$ $ - $\frac{8}{7}$ Cx - Cy + Cz + 4C = 0 \undersetC не = 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно $\frac{8}{7}$ x + y - z - 4 = 0 = сильно 8x + 7y - 7z - 28 = 0$

Расстояние между прямыми CA1 и AB1 =

$\rho ( CA_1; AB_1 ) =\rho ( C; альфа ) = \frac{|8 \cdot 0 + 7 \cdot 0 - 7 \cdot 0 - 28|}{$\sqrt{аргумента: 64 + 49 + 49}$ аргумента} = \frac{28}{$\sqrt{аргумента: 162}$ аргумента} = \frac{28}{9 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = \frac{28 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{18} = \frac{14 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{9}$ $\rho ( CA_1; AB_1 ) =\rho ( C; альфа ) = \frac{|8 \cdot 0 + 7 \cdot 0 - 7 \cdot 0 - 28|}{$\sqrt{аргумента: 64 + 49 + 49}$ аргумента} =$
$= \frac{28}{$\sqrt{аргумента: 162}$ аргумента} = \frac{28}{9 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = \frac{28 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{18} = \frac{14 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{9}$ $\rho ( CA_1; AB_1 ) =\rho ( C; альфа ) =$
$= \frac{|8 \cdot 0 + 7 \cdot 0 - 7 \cdot 0 - 28|}{$\sqrt{аргумента: 64 + 49 + 49}$ аргумента} = \frac{28}{$\sqrt{аргумента: 162}$ аргумента} =$
$= \frac{28}{9 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = \frac{28 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{18} = \frac{14 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{9}$