[рис.] а)  Поскольку $ABCA_1B_1C_1$  ― прямая призма, ее боковые грани ― прямоугольники, следовательно, расстояние между боковыми ребрами $AA_1$ и $BB_1$ = AB, расстояние между боковыми ребрами $AA_1$ и $СС_1$ = AC, а расстояние между боковыми ребрами $BB_1$ и $СС_1$ = $BC$ Кроме того, угол BAC ― линейный угол двугранного угла при ребре $AA_1$
Таким образом, $AB=5, AC=8, \angle BAC=60 в степени ( \circ )$
Рассматривая треугольник ABC, находим: $BC= $\sqrt{аргумента: AB ^2 + AC ^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0,5}$ аргумента =7$

б)  Пусть отрезок AH ― высота основания ABC (см. рис.). Поскольку $AH\perp BC$ и $AH\perp BB_1$ то $AH\perp ( BC_1C )$ и, значит, длина отрезка AH и есть искомое расстояние от прямой $AA_1$ до параллельной ей плоскости $BC_1C$
Рассматривая треугольник ABC, находим:

$2S_\Delta ABC=AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC=5 \cdot 8 \cdot \sin 60 ^{\circ} =20 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$AH= $\frac{2S_\Delta ABC}{BC}$ = \frac{20 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{7}$

Ответ: $\frac{20 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{7}$