а)  Заметим, что проекция прямой CM на плоскость ABC  -- это прямая CO, на которой лежит высота треугольника ABC. Поэтому $CO\perp AB$ а значит, по теореме о трех перпендикулярах $CM\perp AB$ Что и требовалось доказать.
б)Пусть N  — середина ребра AB, а P  — середина отрезка $OC$ Прямая AL лежит в плоскости APL, параллельной прямой $MO$ Поэтому искомое расстояние = расстоянию от прямой MO до плоскости $APL$

[рис.]
Рис. 1

[рис.]
Рис. 2

Опустим из точки O перпендикуляр OH на прямую $AP$ Тогда $OH\perp APL$ и нам остаётся найти длину отрезка $OH$ Отношение $CO:ON=2:1$ поэтому точки P и O делят отрезок CN на три равные части длиной $\frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ каждая. Пусть $\angle APN=\angle альфа$ В треугольнике $APN:$

$AN= $\frac{1}{2}$ ,PN= \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} ,AP= \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$

Следовательно, $\sin альфа = \sqrt{аргумента: $\frac{3}{7}$} аргумента$ Из треугольника OPH находим, что $OH=OP \cdot \sin альфа = \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{14}$

Ответ: $\frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{14}$