а)  Прямая AD перпендикулярна плоскости A1B1C1, поэтому проекцией прямой DE на эту плоскость является прямая A1E. Заметим, что в треугольнике A1EB1 медиана A1C1 равна половине стороны B1E, поэтому треугольник A1EB1 прямоугольный с прямым углом A1. Отсюда по теореме о трех перпендикулярах получаем, что ребро A1B1 перпендикулярно прямой DE.
[рис.]
б)  В прямоугольном треугольнике A1EB1 найдем катет $A_1E= $\sqrt{аргумента: 8 ^2 - 4 ^2}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Далее, пусть L  — точка пересечения прямой DE и плоскости ABC. Тогда отрезки AL и A1E параллельны, следовательно, $AL=2A_1E=8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ по теореме о средней линии треугольника. $A_1C_1=B_1C_1=C_1E$ поэтому угол $B_1A_1E$ прямой, следовательно, прямая AB перпендикулярна плоскости ADE, поэтому расстояние между прямыми DE и AB = расстоянию от точки A до прямой DE, то есть высоте AF прямоугольного треугольника с катетами AD  =  2 и $AL=8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Далее вычислим расстояние между прямыми AB и DE:

$AF= $\frac{AD \cdot AL}{DL}$ = \frac{2 \cdot 8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 4 + 192}$ аргумента} = \frac{8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{7}$

Ответ: $\frac{8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{7}$