[рис.] а)  Пусть плоскость сечения пересекает AA1 в точке M. Тогда прямые MK и AC лежат в одной плоскости. Если прямые MK и AC пересекаются, то плоскость B1KD и прямая AC имеют хотя бы одну общую точку, а это невозможно. Значит, прямая MK параллельна диагонали основания AC, а потому $AM = KC$ Треугольники B1C1K и AMD равны по катету и гипотенузе, поэтому $C_1 K = AM = KC$ Значит, K  — середина CC1.
б)  Пусть N  — середина BB1, а L  — середина DD1. Тогда MN параллельна AB и KL параллельна CD. По теореме Пифагора

$MD = $\sqrt{аргумента: 3 ^2 + 4 ^2}$ аргумента = 5$
$KD = $\sqrt{аргумента: 3 ^2 + 3 ^2}$ аргумента = 3 \sqrt{2}$
$MK = $\sqrt{аргумента: 3 ^2 + 4 ^2}$ аргумента = 5$

Найдем объем пирамиды BMKD:

$V_BMKD = V_ABCDMNKL - V_MABD - V_KCBD - V_DKLM - V_BKNM =$
$= V_ABCDMNKL - 4V_MABD=3 \cdot 3 \cdot 4 - $\frac{4}{3}$ \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot $\frac{1}{2}$ = 12$ $V_BMKD =$
$= V_ABCDMNKL - V_MABD - V_KCBD - V_DKLM - V_BKNM =$
$= V_ABCDMNKL - 4V_MABD=3 \cdot 3 \cdot 4 - $\frac{4}{3}$ \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot $\frac{1}{2}$ = 12$ $V_BMKD =$
$= V_ABCDMNKL - V_MABD - V_KCBD - V_DKLM - V_BKNM =$
$= V_ABCDMNKL - 4V_MABD=$
$=3 \cdot 3 \cdot 4 - $\frac{4}{3}$ \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot $\frac{1}{2}$ = 12$

[рис.]
Найдем площадь = бедренного треугольника KMD:

$S_KMD = $\frac{1}{2}$ \cdot 3 $\sqrt{2}$ \cdot \sqrt{аргумента: 5 ^2 - ( \frac{3 $\sqrt{2}$} аргумента 2 ) ^2 } } = \frac{3 корень из { 41}{,}}{2}$

Тогда $12 = $\frac{1}{3}$ \cdot h \cdot \frac{3 $\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента}{2}$ где h  — искомое расстояние. Находим:

$h = \frac{24}{$\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента} = \frac{24 $\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента}{41}$

Ответ: б) $\frac{24 $\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента}{41}$

Приведем решение методом координат (Александр Турбанов, Липецк).
а)  Введем систему координат с началом в точке B, оси направим вдоль ребер параллелепипеда так, как показано на рисунке. В этой системе координат:

$B_1 ( 0; 0; 6 )$
$A ( 3; 0; 0 )$
$D ( 3; 4; 0 )$
$C ( 0; 4; 0 )$
$C_1 ( 0; 4; 6 )$
$B ( 0; 0; 0 )$

Пусть точка T  — середина СС1, тогда $T ( 0; 4; 3 )$ $\overrightarrowAC = ( - 3; 4; 0 )$ Пусть  α  — плоскость, проходящая через точки B1 и D параллельно стороне AC. Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$ где $\vecn = ( A; B; C )$   — нормаль к плоскости α. Плоскость  α параллельна стороне AC, поэтому $\vecn \perp \overrightarrowAC$ то есть $\vecn \cdot \overrightarrowAC = 0$ Запишем систему:
[рис.]

$$$\begin{cases} 6C + D = 0 \\[6pt] 3A + 4 B + D = 0 \\[6pt] - 3 A + 4 B = 0 \end{cases}$$$

откуда находим, что: $C = - \frac{D}{6}$ $B = - \frac{D}{8}$ и $A = - \frac{D}{6}$ Тогда $ - $\frac{D}{6}$ x - $\frac{D}{8}$ y - $\frac{D}{6}$ z + D = 0$ а потому уравнение плоскости  α принимает вид

$4x + 3y + 4z - 24 = 0$

Подставим координаты точки T в найденное уравнение, находим:

$4 \cdot 0 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 - 24 = 0$

Равенство верно, поэтому точка T принадлежит плоскости α и совпадает с точкой K, а значит, плоскость α пересекает сторону CC1 в середине.
б)  По формуле расстояния от точки до плоскости находим:

$\rho ( B; альфа ) = \frac{|0 + 0 + 0 - 24|}{$\sqrt{аргумента: 4 ^2 + 3 ^2 + 4 ^2}$ аргумента} = \frac{24}{$\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента} = \frac{24 $\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента}{41}$