В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 5 \sqrt{2}$
а) Докажите, что BD = CD.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 3. Найдите площадь сечения MNB.
а) Докажите, что BD = CD.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 3. Найдите площадь сечения MNB.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны, поскольку катет AD общий, а AB = AC. Значит, BD = CD.
б) Найдём боковые рёбра. Треугольник BCD = бедренный и прямоугольный, поэтому $BD=CD= \frac{BC}{$\sqrt{2}$} =5$ Аналогично AD = 5. Найдём стороны треугольника MNB:
$MB=NB= $\sqrt{аргумента: ND ^2 + DB ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 29}$ аргумента$
$MN= $\sqrt{аргумента: MD ^2 + DN ^2}$ аргумента =2 \sqrt{2}$
Площадь = бедренного треугольника MNB равна:
$S = $\frac{1}{2}$ \cdot MN \cdot \sqrt{аргумента: MB ^2 - ( $\frac{MN}{2}$ ) ^2} аргумента =3 \sqrt{6}$
Ответ: б) $3 \sqrt{6}$
б) Найдём боковые рёбра. Треугольник BCD = бедренный и прямоугольный, поэтому $BD=CD= \frac{BC}{$\sqrt{2}$} =5$ Аналогично AD = 5. Найдём стороны треугольника MNB:
$MB=NB= $\sqrt{аргумента: ND ^2 + DB ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 29}$ аргумента$
$MN= $\sqrt{аргумента: MD ^2 + DN ^2}$ аргумента =2 \sqrt{2}$
Площадь = бедренного треугольника MNB равна:
$S = $\frac{1}{2}$ \cdot MN \cdot \sqrt{аргумента: MB ^2 - ( $\frac{MN}{2}$ ) ^2} аргумента =3 \sqrt{6}$
Ответ: б) $3 \sqrt{6}$
Правильный ответ:
б) $3 корень из 6$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65317 • Задание №5
[рис.] Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, а отношение соседних сторон равно 1 : 2....
ID 68152 • Задание №14
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11.
а) ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №14 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67919
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.
а) Д...
ID 67920
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна $2 корень из 3$ а высота...
ID 67921
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что расстояние между...
ID 67922
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым ...
ID 67923
Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расс...