а)  Пусть прямая AC пересекает прямую BE в точке R, прямая FD пересекает прямую BE в точке T, плоскость ACK пересекает прямую SF в точке P, а прямую SD в точке Q, и пусть прямая RK пересекает прямую PQ в точке N (см. рис. 1).

[рис.]
Рис. 1

[рис.]
Рис. 2

Запишем теорему Менелая для треугольника TSE (см. рис. 2): $\frac{EK}{KS} \cdot $\frac{SN}{NT}$ \cdot $\frac{TR}{RE}$ = 1$ Из треугольника ETD и правильного шестиугольника ABCDEF получаем, что $TE = $\frac{1}{2}$ \cdot DE = $\frac{1}{4}$ \cdot BE$ а тогда $\frac{TR}{RE} = \frac{2}{3}$ и

$\frac{3}{2} \cdot $\frac{SN}{NT}$ \cdot $\frac{2}{3}$ = 1 = сильно $\frac{SN}{NT}$ = 1 = сильно SN = NT$

Следовательно, точка N  — середина отрезка ST. Заметим, что прямая PQ параллельна прямой AC, поскольку прямая AC параллельна плоскости SDF. Тогда

$\frac{SP}{PF} = $\frac{SN}{NT}$ = \frac{SQ}{QD}$

Итак, плоскость ACK пересекает ребра SB и SD в их серединах.

б)  Заметим, что $S_ABC = S_FED = $\frac{1}{6}$ S_ABCDEF$ Кроме того, $S_ACF = S_DCF = $\frac{1}{3}$ S_ABCDEF$ Разобьем многогранник SABCQKP на пирамиды SABC, SAPC, SPQC, SPQK. Тогда имеем:

$V_SABC = $\frac{1}{6}$ V_SABCDEF$
$V_SAPC = $\frac{SP}{SF}$ \cdot V_SACF = $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{3}$ V_SABCDEF = $\frac{1}{6}$ V_SABCDEF$
$V_SPQC = $\frac{SP}{SF}$ \cdot $\frac{SQ}{SD}$ \cdot V_SFDC = $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{3}$ V_SABCDEF = $\frac{1}{12}$ V_SABCDEF$
$V_SPQK = $\frac{SP}{SF}$ \cdot $\frac{SK}{SE}$ \cdot $\frac{SQ}{SD}$ \cdot V_SFED = $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{2}{5}$ \cdot V_SFED = $\frac{1}{10}$ \cdot $\frac{1}{6}$ \cdot V_SABCDEF = $\frac{1}{60}$ V_SABCDEF$ $V_SPQK = $\frac{SP}{SF}$ \cdot $\frac{SK}{SE}$ \cdot $\frac{SQ}{SD}$ \cdot V_SFED = $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{2}{5}$ \cdot V_SFED =$
$= $\frac{1}{10}$ \cdot $\frac{1}{6}$ \cdot V_SABCDEF = $\frac{1}{60}$ V_SABCDEF$ $V_SPQK = $\frac{SP}{SF}$ \cdot $\frac{SK}{SE}$ \cdot $\frac{SQ}{SD}$ \cdot V_SFED =$
$= $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{2}{5}$ \cdot V_SFED =$
$= $\frac{1}{10}$ \cdot $\frac{1}{6}$ \cdot V_SABCDEF = $\frac{1}{60}$ V_SABCDEF$

Складывая, получим:

$V_SABCQKP = V_SABCDEF \cdot ( $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{12}$ + $\frac{1}{60}$ ) = $\frac{13}{30}$ V_SABCDEF$

Таким образом, плоскость ACK делит объем пирамиды в отношении 13 : 17.

Ответ: б)  13 : 17.