[рис.] а)  Пусть L  — точка, в которой плоскость сечения пересекает ребро $C_1D_1$ Плоскости ABCD и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым, следовательно, отрезок KL параллелен диагонали $BD$ Искомое сечение  — трапеция BDLK (рис. 1). Плоскость сечения пересекает нижнее основание по прямой BD, параллельной $B_1D_1$ значит, KL параллельно $B_1D_1$ Треугольники LC1K и D1C1B1 подобны, следовательно,

$C_1L: C_1D_1 = C_1K:C_1B_1 = KL: B_1D_1 = 3:11$

Значит, $BD = B_1D_1 = 11 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента , KL = 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
В равных прямоугольных треугольниках $DD_1L$ и $BB_1K$ имеем $BK=DL= $\sqrt{аргумента: DD_1 ^2 + D_1L ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 113}$ аргумента$ значит, трапеция BDLK = бедренная. [рис.]
б)  Пусть LH  — высота трапеции BDLK, проведённая к основанию BD (рис. 2), тогда

$DH= $\frac{BD - KL}{2}$ =4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента , LH= $\sqrt{аргумента: DL ^2 - DH ^2}$ аргумента = 9$
$S_BDLK= $\frac{BD + KL}{2}$ \cdot LH=63 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Ответ: $63 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$