[рис.] Пусть четырёхугольник KBNM  — сечение данной призмы плоскостью α (см. рис.). Прямая AC параллельна плоскости α, а плоскость ACK пересекает плоскость α по прямой KN, следовательно, KN || AC и, значит, AKNC  — прямоугольник. Прямые BD и AC являются соответственно проекциями прямых BM и KN на плоскость ABC, значит, точка пересечения прямых BD и AC (точка H) является проекцией точки пересечения прямых BM и KN (точки O) на эту плоскость. Таким образом, $OH=AK= $\frac{1}{3}$ AA_1$ C другой стороны, отрезок OH  — средняя линия треугольника BDM и, следовательно, $DM=2OH= $\frac{2}{3}$ AA_1= $\frac{2}{3}$ DD_1$ откуда и следует доказываемое утверждение.
б)  Так как AC ⊥ BD и AC ⊥ BB1, то $AC \perp ( BDD_1 )$ Но KN || AC, значит, и $KN \perp ( BDD_1 )$ Следовательно, KN ⊥ BM, поскольку $BM \subset ( BDD_1 )$ и площадь сечения S равна $S= \frac{BM \cdot KN}{2}$ Имеем:

$KN=AC=AB $\sqrt{2}$ =4 \sqrt{2}$

$BM= $\sqrt{аргумента: BD ^2 + DM ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 32 + 16}$ аргумента =4 \sqrt{3}$

$S= \frac{4 $\sqrt{2}$ \cdot 4 $\sqrt{3}$}{2} =8 \sqrt{6}$

Ответ: б) $8 \sqrt{6}$