а)  Заметим, что AO  =  1, поэтому в прямоугольном и = бедренном треугольнике AOA1 имеем: A1O  =  1, и по теореме Пифагора $AA_1= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ Пусть плоскость $альфа$ пересекает ребро BB1 в точке K, ребро DD1 в точке M и ребро CC1 в точке  L соответственно. По теореме Пифагора из треугольников DOA1 и BOA1 получаем

$A_1D=A_1B= $\sqrt{аргумента: A_1O ^2 + BO ^2}$ аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$

Тогда A1M  — высота в = бедренном треугольнике A1D1D, откуда $DM=MD_1= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$ $A_1M=A_1K=1$ Заметим, что ML  — высота параллелограмма DD1C1C, значит, ML  =  A1M  =  1. Кроме того, $KM=BD= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ откуда $\angle KA_1M=90 ^{\circ}$ то есть A1KLM  — ромб с углом 90°, и, следовательно, A1KLM  — квадрат.

[рис.]

[рис.]

б)  В = бедренном треугольнике DD1C отрезок ML является серединным перпендикуляром, значит, точка L совпадает с точкой C.
Разобьем многогранник A1KMCC1B1D1 на три пирамиды, тогда получим:

$V_A_1KMD_1B_1=V_C_1B_1D_1MK= $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ A_1L \cdot S_B_1D_1MK= $\frac{1}{3}$ \cdot \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{6}$
$V_C_1KMC= $\frac{1}{3}$ \cdot C_1C \cdot S_KML= $\frac{1}{3}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot $\frac{1}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{6}$

Сложим полученные объемы:

$V_A_1KMCC_1B_1D_1= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{6} + \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{6} + \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{6} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$

Итак,

$V_ABCDA_1B_1C_1D_1=A_1O \cdot S_ABCD=1 \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot 2 \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

то есть плоскость $альфа$ делит объём параллелепипеда пополам или в отношении 1 : 1.

Ответ: 1 : 1.