[рис.] а)  Пусть плоскость MNK пересекает ребро CC1 в точке P. Плоскости AA1B и CC1D параллельны, поэтому параллельны прямые MN и KP. Пусть $AA_1 = 30x$ тогда $AM = 5x$ $BN = 6x$ $DK = 10x$ Четырехугольник MNPK  — параллелограмм по определению, поэтому отрезки NK и MP имеют общую точку O. Пусть h  — расстояние от точки O до плоскости основания. Тогда $h = $\frac{6x + 10x}{2}$ = 8x$ а кроме того,

$h = 8x = $\frac{AM + CP}{2}$ = \frac{5x + CP}{2}$

откуда $CP = 11x$ Следовательно, $CP : PC_1 = 11 : 19$
б)  Пусть искомый угол равен α. Тогда $\cos альфа = \frac{S_ABCD}{S_MNKP}$ Из условия $AM = 5$ $BN = 6$ тогда по теореме Пифагора

$MN = PK = \sqrt{аргумента: ( 6 - 5 ) ^2 + $\sqrt{начало аргумента: 13}$ аргумента ^2}аргумента = $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента$

и аналогично

$NP = MK = \sqrt{аргумента: ( 10 - 5 ) ^2 + $\sqrt{начало аргумента: 13}$ аргумента ^2}аргумента = $\sqrt{аргумента: 38}$ аргумента$
$NK = \sqrt{аргумента: ( 10 - 6 ) ^2 + ( $\sqrt{начало аргумента: 2}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента ) ^2}аргумента = $\sqrt{аргумента: 42}$ аргумента$

По теореме \cos ов в треугольнике NMK:

$\cos \angle NMK = $\frac{NM ^2 + MK ^2 - NK ^2}{2 \cdot NM \cdot MK}$ = \frac{14 + 38 - 42}{2 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 38}$ аргумента} = \frac{5}{2 $\sqrt{аргумента: 133}$ аргумента}$

Значит,

$\sin \angle NMK = \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{25}{4 \cdot 133}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{507}{4 \cdot 133}$} аргумента = $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: $\frac{507}{133}$} аргумента$

Следовательно,

$S_MNKP = $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 38}$ аргумента \cdot $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: $\frac{507}{133}$} аргумента = $\sqrt{аргумента: 507}$ аргумента$

а искомый угол равен

$\arccos \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента ^2}{$\sqrt{аргумента: 507}$ аргумента} = \arccos \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$

Ответ: б)  $\arccos \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$