[рис.] а)  Пусть длина высоты CO тетраэдра ABCD равна h. Объем этого тетраэдра равен

$V_ABCD = $\frac{1}{3}$ h \cdot S_ABD = $\frac{1}{3}$ h \cdot \frac{AB ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} = \frac{100h $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{12} = \frac{25h $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$

Треугольник AMK  — = бедренный с углом 60°, то есть = сторонний. Следовательно, объем пирамиды CMKA равен

$V_CMKA = $\frac{1}{3}$ h \cdot S_AMK = $\frac{1}{3}$ h \cdot \frac{AM ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} = \frac{36h $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{12} = 3h $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Таким образом, объем многогранника CMKDB и искомое отношение соответственно равны

$V_CMKDB = V_ABCD - V_CMKA = \frac{25h $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3} - 3h $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = \frac{16h $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$
$\frac{V_CMKDB}{V_CMKA} = \frac{16h $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3} : 3h $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = \frac{16h $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{9h $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = \frac{16}{9}$

б)  Пусть точка A1  — середина отрезка MK, а точка A2  — середина отрезка BD. Треугольники AMK и ABD  — = бедренные, прямые MK и BD параллельны по теореме, обратной теореме Фалеса, поэтому точки A, A1, A2 лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна и прямой MK, и прямой BD. Проведем через точку C прямую l, параллельную прямой BD, по этой прямой пересекаются плоскости CMK и CBD. Отрезки CA1 и CA2 являются медианами, проведенными к основаниям = бедренных треугольников, а потому и их высотами. Следовательно, прямая l соответственно перпендикулярна прямым CA1 и CA2, а потому \cos угла A1CA2  — искомый.
Прямоугольные треугольники MAA1 и BAA2 подобны по двум углам, а потому $\frac{AA_1}{AA_2} = \frac{AM}{AB}$ откуда

$AA_1 = $\frac{AM}{AB}$ \cdot AA_2 = $\frac{AM}{AB}$ \cdot \frac{AB $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} AM = 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$A_1A_2 = AA_2 - AA_1 = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} AB - 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Тетраэдр ABCD  — правильный, поэтому его грани являются равными треугольниками, то есть $CA_2 = AA_2 = 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ По теореме \cos ов для треугольника CAA2 получаем:

$\cos \angle AA_2C = $\frac{AA_2 ^2 + CA_2 ^2 - AC ^2}{2AA_2 \cdot CA_2}$ = \frac{75 + 75 - 100}{2 \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = $\frac{50}{150}$ = \frac{1}{3}$

Аналогично для треугольника CA1A2 находим:

$CA_1 = $\sqrt{аргумента: A_1A_2 ^2 + CA_2 ^2 - 2A_1A_2 \cdot CA_2 \cdot \cos \angle AA_2C}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 12 + 75 - 2 \cdot 2 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot $\frac{1}{3}$}аргумента = $\sqrt{аргумента: 87 - 20}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 67}$ аргумента$ $CA_1 = $\sqrt{аргумента: A_1A_2 ^2 + CA_2 ^2 - 2A_1A_2 \cdot CA_2 \cdot \cos \angle AA_2C}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 12 + 75 - 2 \cdot 2 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot $\frac{1}{3}$}аргумента =$
$= $\sqrt{аргумента: 87 - 20}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 67}$ аргумента$

Для этого же треугольника по теореме \cos ов окончательно вычислим:

$\cos \angle A_1CA_2 = $\frac{CA_1 ^2 + CA_2 ^2 - A_1A_2 ^2}{2CA_1 \cdot CA_2}$ = \frac{67 + 75 - 12}{2 \cdot $\sqrt{аргумента: 67}$ аргумента \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = \frac{130}{10 $\sqrt{аргумента: 201}$ аргумента} = \frac{13 $\sqrt{аргумента: 201}$ аргумента}{201}$ $\cos \angle A_1CA_2 = $\frac{CA_1 ^2 + CA_2 ^2 - A_1A_2 ^2}{2CA_1 \cdot CA_2}$ =$
$= \frac{67 + 75 - 12}{2 \cdot $\sqrt{аргумента: 67}$ аргумента \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = \frac{130}{10 $\sqrt{аргумента: 201}$ аргумента} = \frac{13 $\sqrt{аргумента: 201}$ аргумента}{201}$

Ответ: б)  $\frac{13 $\sqrt{аргумента: 201}$ аргумента}{201}$