В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания $AB=8 \sqrt{3}$ а боковое ребро AA1 = 5.
а) Найдите длину отрезка A1K, где K — середина ребра BC.
б) Найдите \text{tg} угла между плоскостями BCA1 и BB1C1.
а) Найдите длину отрезка A1K, где K — середина ребра BC.
б) Найдите \text{tg} угла между плоскостями BCA1 и BB1C1.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) По теореме Пифагора
$A_1K= $\sqrt{аргумента: AA_1 ^2 + AK ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 25 + ( 8 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 - ( 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2}аргумента = $\sqrt{аргумента: 25 + 192 - 48}$ аргумента =13$ $A_1K= $\sqrt{аргумента: AA_1 ^2 + AK ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 25 + ( 8 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 - ( 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2}аргумента =$
$= $\sqrt{аргумента: 25 + 192 - 48}$ аргумента =13$
б) Отметим точку $K_1$ — середину $B_1C_1$ Поскольку $A_1K\perp BC$ (потому что его проекция на основание $ABC$ — прямая AK — перпендикулярна $BC )$ и $KK_1\perp BC$ (потому что $KK_1\parallel C_1C$ ), то
$\angle ( ( A_1BC ) , ( BB_1C_1 ) ) =\angle ( ( A_1K ) , ( KK_1 ) ) =\angle A_1KK_1=\angle KA_1A= \arccos $\frac{AA_1}{A_1K}$ = \arccos \frac{5}{13}$ $\angle ( ( A_1BC ) , ( BB_1C_1 ) ) =\angle ( ( A_1K ) , ( KK_1 ) ) =$
$=\angle A_1KK_1=\angle KA_1A= \arccos $\frac{AA_1}{A_1K}$ = \arccos \frac{5}{13}$ $\angle ( ( A_1BC ) , ( BB_1C_1 ) ) =\angle ( ( A_1K ) , ( KK_1 ) ) =$
$=\angle A_1KK_1=\angle KA_1A=$
$= \arccos $\frac{AA_1}{A_1K}$ = \arccos \frac{5}{13}$
\text{tg} найденного угла равен $\frac{12}{5}$
Ответ: а) $13$ б) $\frac{12}{5}$
$A_1K= $\sqrt{аргумента: AA_1 ^2 + AK ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 25 + ( 8 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 - ( 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2}аргумента = $\sqrt{аргумента: 25 + 192 - 48}$ аргумента =13$ $A_1K= $\sqrt{аргумента: AA_1 ^2 + AK ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 25 + ( 8 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 - ( 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2}аргумента =$
$= $\sqrt{аргумента: 25 + 192 - 48}$ аргумента =13$
б) Отметим точку $K_1$ — середину $B_1C_1$ Поскольку $A_1K\perp BC$ (потому что его проекция на основание $ABC$ — прямая AK — перпендикулярна $BC )$ и $KK_1\perp BC$ (потому что $KK_1\parallel C_1C$ ), то
$\angle ( ( A_1BC ) , ( BB_1C_1 ) ) =\angle ( ( A_1K ) , ( KK_1 ) ) =\angle A_1KK_1=\angle KA_1A= \arccos $\frac{AA_1}{A_1K}$ = \arccos \frac{5}{13}$ $\angle ( ( A_1BC ) , ( BB_1C_1 ) ) =\angle ( ( A_1K ) , ( KK_1 ) ) =$
$=\angle A_1KK_1=\angle KA_1A= \arccos $\frac{AA_1}{A_1K}$ = \arccos \frac{5}{13}$ $\angle ( ( A_1BC ) , ( BB_1C_1 ) ) =\angle ( ( A_1K ) , ( KK_1 ) ) =$
$=\angle A_1KK_1=\angle KA_1A=$
$= \arccos $\frac{AA_1}{A_1K}$ = \arccos \frac{5}{13}$
\text{tg} найденного угла равен $\frac{12}{5}$
Ответ: а) $13$ б) $\frac{12}{5}$
Правильный ответ:
а) $13$ б) $дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66604 • Задание №10
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $BB_1$ отмечена точка K так, что $BK : B_1K = 1 : ...
ID 64637 • Задание №2
Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 1,6 м. Сколько рулонов обоев нужно к...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №14 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67919
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.
а) Д...
ID 67920
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна $2 корень из 3$ а высота...
ID 67921
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что расстояние между...
ID 67922
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым ...
ID 67923
Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расс...