[рис.] а)  Поскольку

$\text{tg} \angle CMC_1= $\frac{CC_1}{CM}$ = \frac{4}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = $\frac{B_1C_1}{CC_1}$ = \text{tg} \angle B_1CC_1$
получаем

$\angle B_1CC_1 = \angle CMC_1= 90 ^{\circ} - \angle MC_1C$
то есть прямые $B_1C$ и $C_1M$ перпендикулярны.

б)  Пусть $M_1$   — середина $B_1C_1$ тогда угол между прямой $C_1M$ и плоскостью грани $ABB_1A_1$ равен углу между этой плоскостью и прямой $BM_1$
Обозначим через $M_1H$ перпендикуляр, опущенный на $A_1B_1$ Прямая $M_1H$ перпендикулярна плоскости грани $ABB_1A_1$ поскольку она перпендикулярна прямым $A_1B_1$ и $BB_1$ Поэтому искомый угол равен углу $M_1BH$
В прямоугольном треугольнике $M_1BH$ :

$M_1B= $\sqrt{аргумента: BB_1 ^2 + B_1M_1 ^2}$ аргумента =2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$ $M_1H = M_1B_1 \cdot \sin 60 ^{\circ}= $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$

откуда $\angle M_1BH=30 ^{\circ}$

Ответ: б) 30°.

Приведём векторное решение Дениса Чернышёва (Тюмень).
[рис.] а)  Введем векторы $\veca$ $\vecb$ $\vecc$ как показано на рисунке, и выразим через введённый базис векторы

$\overrightarrowMC_1 = $\frac{1}{2}$ \veca + \vecc, \qquad \overrightarrowCB_1 = \vecc - \veca$

Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой лежащей в ней прямой, поэтому $\cos ( \widehat\veca, \vecc ) = \cos ( \widehat \vecb, \vecc ) =0$ откуда

$\overrightarrowMC_1 \cdot \overrightarrowCB_1= ( $\frac{1}{2}$ \veca + \vecc ) \cdot ( \vecc - \veca ) = $\frac{1}{2}$ \vec|a| \vec|c| \cdot 0 - $\frac{1}{2}$ \veca ^2 + \vecc ^2 - \vec|a| \vec|c| \cdot 0= - $\frac{1}{2}$ \veca ^2 + \vecc ^2$ $\overrightarrowMC_1 \cdot \overrightarrowCB_1= ( $\frac{1}{2}$ \veca + \vecc ) \cdot ( \vecc - \veca ) =$
$= $\frac{1}{2}$ \vec|a| \vec|c| \cdot 0 - $\frac{1}{2}$ \veca ^2 + \vecc ^2 - \vec|a| \vec|c| \cdot 0= - $\frac{1}{2}$ \veca ^2 + \vecc ^2$

Подставляя $\veca ^2 =32, \vecc ^2 =16$ получим

$\overrightarrowMC_1 \cdot \overrightarrowCB_1= - $\frac{1}{2}$ \cdot 32 + 16=0$

Значит, прямые B1C и C1M перпендикулярны, что и требовалось доказать.

б)  Пусть искомый угол между прямой C1M и плоскостью грани ABB1A1 равен α. Чтобы найти его, нужно знать вектор, перпендикулярный к плоскости $AA_1B_1B$ Это вектор $\overrightarrowNC_1 = \veca - $\frac{1}{2}$ \vecb$ Тогда

$\sin альфа = $\frac{\overrightarrowNC_1 \cdot \overrightarrowMC_1}{|\overrightarrowNC_1| \cdot |\overrightarrowMC_1|}$ = \frac{( \veca - $\frac{1}{2}$ \vecb ) \cdot ( $\frac{1}{2}$ \veca + \vecc ) ,}{$\sqrt{аргумента: ( \veca}$ аргумента - $\frac{1}{2}$ \vecb ) ^2 \cdot ( $\frac{1}{2}$ \veca + \vecc ) ^2}$

Учитывая, что $\cos ( \widehat\veca , \vecb ) = \frac{1}{2}$ получаем:

$\sin альфа = \frac{$\frac{1}{2}$ \veca ^2 + 0 - $\frac{1}{4}$ \vec|a| \vec|b| \cdot $\frac{1}{2}$ - 0,}{$\sqrt{аргумента: ( \veca}$ аргумента ^2 + $\frac{1}{4}$ \vecb ^2 - 2 \vec|a| \cdot $\frac{1}{2}$ \vec|b| \cdot $\frac{1}{2}$ ) \cdot ( $\frac{1}{4}$ \veca ^2 + \vecc ^2 + 0 )} = \frac{16 - 4}{$\sqrt{аргумента: ( 32 + 8 - 16 ) \cdot ( 8 + 16 )}$ аргумента} = $\frac{12}{24}$ = \frac{1}{2}$ $\sin альфа = \frac{$\frac{1}{2}$ \veca ^2 + 0 - $\frac{1}{4}$ \vec|a| \vec|b| \cdot $\frac{1}{2}$ - 0,}{$\sqrt{аргумента: ( \veca}$ аргумента ^2 + $\frac{1}{4}$ \vecb ^2 - 2 \vec|a| \cdot $\frac{1}{2}$ \vec|b| \cdot $\frac{1}{2}$ ) \cdot ( $\frac{1}{4}$ \veca ^2 + \vecc ^2 + 0 )} =$
$= \frac{16 - 4}{$\sqrt{аргумента: ( 32 + 8 - 16 ) \cdot ( 8 + 16 )}$ аргумента} = $\frac{12}{24}$ = \frac{1}{2}$

Значит, $альфа =30 ^{\circ}$

[рис.]
Приведем решение Ивана Иванова (Владивосток).
а)  Введём прямоугольную систему координат: поместим начало координат в точку A, ось Ox направим вдоль прямой AB, ось Oy  — перпендикулярно AB в плоскости ABC так, чтобы ордината точки C была положительной, а ось Oz направим вдоль прямой AA1 (см. рис.). В данной системе координат находим координаты точек:

$A ( 0; 0; 0 )$
$B_1 ( 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ; 0; 4 )$
$C ( 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ; 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ; 0 )$
$C_1 ( 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ; 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ; 4 )$
$M ( 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ; $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ; 0 )$

Далее находим:

$\overrightarrowB_1C = ( - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ; 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ; - 4 )$
$\overrightarrowC_1M = ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ; - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ; - 4 )$
$\overrightarrowB_1C \cdot \overrightarrowC_1M = ( - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \cdot ( - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ) + ( - 4 ) \cdot ( - 4 ) = - 4 - 12 + 16 = 0$ $\overrightarrowB_1C \cdot \overrightarrowC_1M = ( - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \cdot ( - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ) + ( - 4 ) \cdot ( - 4 ) =$
$= - 4 - 12 + 16 = 0$ $\overrightarrowB_1C \cdot \overrightarrowC_1M =$
$= ( - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \cdot ( - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ) + ( - 4 ) \cdot ( - 4 ) =$
$= - 4 - 12 + 16 = 0$

Скалярное произведение векторов = нулю, значит, вектор $\overrightarrowB_1C$ перпендикулярен вектору $\overrightarrowC_1M$ Эти векторы являются направляющими векторами прямых B1C и C1M следовательно, эти прямые перпендикулярны.

б)  Плоскость грани ABB1A1  — это плоскость Axz, уравнение которой имеет вид y  =  0. Единичный вектор нормали к этой плоскости имеет вид $\vecn = ( 0; 1; 0 )$ \sin угла φ между прямой и плоскостью равен модулю \cos а угла между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости, то есть \cos у угла между направляющим вектором прямой C1M и нормалью к плоскости грани ABB1A1:

$\sin \varphi = $\frac{|\overrightarrowC_1M \cdot \vecn|}{|\overrightarrowC_1M| \cdot |\vecn|}$ = \frac{|0 - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента + 0|}{$\sqrt{аргумента: 2 + 6 + 16}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 1}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента} = \frac{1}{2}$

значит, искомый угол равен 30°.